Summenformel Reihe

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Knuddelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel Reihe
Meine Frage:
ich suche die Summenformel für die unendliche Reihe
[latex] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\left(6k-1\right)\left(6k+1\right) } \right) [\latex]

Meine Ideen:
Die Reihe ist konvergent, denn es gilt
[latex]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\left(6k-1\right)\left(6k+1\right) } \right)<
\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\left(4k-1\right)\left(4k+1\right) } \right)
= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}[\latex]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir betrachten ,

diese Reihe hat Konvergenzradius 1 und ist am Rand selbst konvergent, wir suchen hier gerade Funktionswert . Dann ist

.

Das Integral ist dann natürlich noch auszuwerten (Polynomdivision, PBZ, etc.).
Knuddelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel Reihe
Zunächst danke an HAL9000. Nur kann ich den Schritt

nicht nachvollziehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Erst Indexverschiebung und Ausklammern



und dann Geometrische Reihe!
Knuddelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel Reihe
HAL 9000 Danke! An der Gleichung

werde ich erst mal selbst basteln.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte helfen, in Zähler wie Nenner auszuklammern.

Und bei der PBZ hilft .
 
 
Knuddelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel Reihe
HAL 9000 nochmals vielen Dank. Da bin ich jetzt auch schon drüber. Aber ich befürchte, dass ich beim Auswerten des Integrals doch noch einen kleinen Anschubser brauche.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich das nicht gerade getan mit der PBZ-Anmerkung? Ok, es folgt mittelbar

,

und das zu integrieren sollte mit Analysis-Standardwissen drin sein.
Knuddelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, da habe ich doch eben gepennt.
Knuddelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Für diejenigen, die hier noch auf die Lösung warten:

Alle Primzahlen > 3 lassen sich als darstellen. Somit sind in der Summation alle Primzahlen und damit auch alle Primzahlzwillinge enthalten. Es sei

Dann haben wir mit

neben der Brunschen Konstanten

eine weitere konvergente Reihe über die Reziproken der Primzahlzwillinge. Könnten wir ihre Irrationalität beweisen, wäre die Primzahlzwillingsvermutung bewiesen.
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