Beweis durch Umkehrschluss

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e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Umkehrschluss
Meine Frage:
Beweisen Sie durch Umkehrschluss die folgende Aussage, wobei a Element aller natürlichen Zahl sei:
"Wenn a^2 ungerade ist, dann ist a ungerade."

Meine Ideen:
Dies ist mein erster Beweis, den ich durchführen werde.
Ich habe folgende Idee:

Beim Beweis durch Umkehrschluss gilt:
A=>B
heißt aus A folgt B, wenn A wahr ist dann gilt auch B

A=>B ist identisch zu -B=>-A
Aus A folgt B bzw. A ist hinreichend für B und B notwendig für A folgt,dass wenn B nicht wahr ist, ist A auch nicht wahr, also falsch.

Dies ist meine Annahme.

Die Rechnung sieht wie folgt aus:

a ist Element aus allen natürlichen Zahlen: a^2 ungerade => a ungerade

a ist Element aus allen natürlichen Zahlen: a gerade => a^2 gerade

eine beliebig natürlich gerade Zahl ist durch 2 teilbar, d.h. wenn ich eine ungerade Zahl, gennant m mit dem Faktor 2 oder dem Vielfachen einer ungeraden Zahl multipliziere erhalte ich eine gerade Zahl

sprich

Es existiert ein m Element aus den natürlichen Zahlen, welches die Gleichung a= 2*m erfüllt.

a^2 gerade => a gerade
a^2= (2m)^2
a^2=4m^2
4m^2:=k

a^2=k

wenn ich für m eine ungerade Zahl zB 3 einsetze und dieses quadrierere und mit dem Faktor 4 multipliziere erhalte ich immer eine gerade Zahl.
Somit folgt der Rückschluss, dass wenn a^2 gerade ist a gerade sein muss und folglich des Umkehrschlusses, dasss wenn a^2 ungerade ist a auch ungerade ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zu umständlich, und du darfst nicht von einer Vermutung ausgehen ("a^2 gerade => a gerade")

Beh. ungerade, dann ist ungerade.
Bew. gerade , dann , dann gerade. q.e.d.

(Dies war mein 507915653. Beweis Augenzwinkern )
e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit"umständlich"? Wink
Und ich darf nicht von einer Vermutung/Annahme ausgehen?
a^2 gerade => a gerade ist also eine Tatsache?

Bew. a gerade , dann a=2m, dann a^2=(2m)2=4m^2=2∗2m2 gerade. q.e.d.
müsste da nicht eine Klammer hin?

Bew=2m, dann a^2=(2m)^2=4m^2=2&#8727traurig 2m)^2 gerade. q.e.d.

das wäre das Assoziativgesetz?
e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
Was meinst du mit"umständlich"? Wink
Und ich darf nicht von einer Vermutung/Annahme ausgehen?
a^2 gerade => a gerade ist also eine Tatsache? falls gilt a^2 ungerade => a ungerade


Bew. a gerade , dann a=2m, dann a^2=(2m)^2=4m^2=2*(2m)^2 gerade. q.e.d.
müsste da nicht eine Klammer hin?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Umständlich ist, wenn du auf einer ganzen Seite keinen Beweis führst, während ich für einen Beweis eine halbe Zeile benötige.

"a^2 gerade => a gerade" ist eine unbewiesene Aussage, also eine Vermutung. Wenn du diese Aussage in einem Beweis benutzen möchtest, musst du sie beweisen.

Wenn du schreibst "4m^2=2*(2m)^2" , dann machst du meinen schönen Beweis kaputt. Nein, da darf keine Klammer hin.
e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »

"Zu umständlich, und du darfst nicht von einer Vermutung ausgehen ("a^2 gerade => a gerade")."
""a^2 gerade => a gerade" ist eine unbewiesene Aussage, also eine Vermutung. "

Also ist es eine Annahme/Vermutung?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Jede Aussage, für die man keinen Beweis hat, ist eine Vermutung. Eine Aussage ist genau dann ein Satz (Theorem), wenn sie bewiesen wurde. Es genügt nicht, dass es irgendwo auf der Welt einen Beweis gibt, du musst einen Beweis haben. In einem Beweis darf niemals von einer Vermutung auf eine andere Aussage geschlossen werden. Wenn man das macht, so nennt man das eine Beweislücke.

Du darfst zur Übung die Behauptung "a^2 gerade => a gerade" durch Umkehrschluss beweisen. Dann darfst du diese Aussage benutzen, um deine erste Aussage "a^2 ungerade => a ungerade" zu beweisen. (Beweisen muss man üben, die ersten 10000 sind schwierig, danach wird's noch schwieriger, weil die Aussagen immer komplizierter und die Beweise immer länger werden.)
e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis durch Umkehrschluss

Behauptung: "a^2 gerade => a gerade"

Äquivalenz: (A=>B) ist identisch gleich zu (wenn A nicht gilt, trifft B nicht zu)

Annahme: "nicht B" ist wahr, wenn "nicht A" wahr ist.

Beweis durch Umkehrschluss:

Für a Element aus den natürlichen Zahlen: a ungerade => a^2 ungerade

Für m Element aus den natürlichen Zahlen gilt: a= (2*m)+1

daraus folgt für a^2

Für m Element aus den natürlichen Zahlen: a^2= (2m+1)^2
Für m Element aus den natürlichen Zahlen: a^2= (2m)^2+2*2m*1+1^2
a^2= 2*(2m^2)+2(2m)+1
a^2= 2*(2m^2+2m)+1

2m^2+2m := k

a^2=2*k+1
sprich: es existiert ein k Element aus den natürlichen Zahlen, welches die Gleichung a^2=2k+1 erfüllt.

es existiert ein k Element aus den natürlichen Zahlen: a^2=2*k+1 ungerade q.e.d
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von e^pi*i
Äquivalenz: (A=>B) ist identisch gleich zu (wenn A nicht gilt, trifft B nicht zu)
Annahme: "nicht B" ist wahr, wenn "nicht A" wahr ist.

Mit dieser Logik stimmt etwas nicht !

Der Beweis ist immer noch ein wenig umständlich, aber immerhin ist er richtig. Freude Damit hast du bewiesen "a² gerade => a gerade".

Beachte bitte, dass du in deinem allerersten Beweisversuch aus "a² gerade => a gerade" die Aussage "a² ungerade => a ungerade" folgern wolltest. Das geht aber nicht, denn es ist nicht der Umkehrschluss. Der Umkehrschluss ist vielmehr "a ungerade => a² ungerade".
e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Stelle meinst Du?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Umkehrschluss:
Was du Äquivalenz nennst, ist falsch:
e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »

"Beachte bitte, dass du in deinem allerersten Beweisversuch aus "a² gerade => a gerade" die Aussage "a² ungerade => a ungerade" folgern wolltest. Das geht aber nicht, denn es ist nicht der Umkehrschluss. Der Umkehrschluss ist vielmehr "a ungerade => a² ungerade". "
Du meinst a gerade => a^2 gerade?
Ich sehe den Wald vor lauter Bäume nicht mehr. smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine (fast immer) das was ich sage oder schreibe. Damit du den vollen Durchblick bekommst, musst du nur verstehen, was ein Umkehrschluss ist, und das habe ich jetzt mindestens 5 mal deutlich gemacht.
e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Umkehrschluss gilt

A=>B
B gilt wenn A gilt, aus A folgt B

Umkehrschluss: - B=> -A
wenn B nicht gilt, gilt nicht A , d.h. aus nicht B folgt nicht A
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So ähnlich, wobei die Sprache auch hier mißverständlich sein kann. A und B kann man nun durch alle möglichen Aussagen ersetzen (z.B. a gerade, a² gerade, a ungerade, a² ungerade) und erhält so viele Schlüsse und Umkehrschlüsse.
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