Warum ist das Risiko endlich?

21.10.2018, 21:02

Falti

Warum ist das Risiko endlich?

Meine Frage:
Hi, folgende Aufgabe beschäftigt mich:

Sei L : X × Y × R ? [0, ?) eine Lipschitz-stetige Funktion mit L(x, y, y) = 0.
Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf X × Y . Definiere J :X×Y ×R?R, J(x,y,t):=L(x,y,t)?L(x,y,0).

Sei f: X ? R eine beliebige, aber messbare Funktion. Zeigen Sie: f ? L1(PX), dann gilt RJ,P(f) ? R

Meine Ideen:
Eigentlich ist das doch klar:
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{X} \int_{Y} \! |L(x,y,f(x)) - L(x,y,0)| \, dP(y|x) dP(x) \! \leq <br /> \int_{X} \int_{Y} \! L \cdot |f(x)| \, dP(y|x) dP(x) \! \leq <br /> L \cdot \int_{X} \! |f(x)| \, dx <br /> \end{eqnarray*}$
Weil P ja auf Y ein W-Maß ist. Oder warum geht das so nicht?

22.10.2018, 10:34

HAL 9000

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Diese ?-Ansammlungen sind ein ständiges Ärgernis, und sicher mit ein Hauptgrund für späte Antworten in solchen Threads. Es ist doch wirklich nicht zuviel verlangt, einen Beitrag vor Absenden in der "Vorschau" zu überprüfen und dann entsprechende Korrekturen durchzuführen. Auch nach dem Absenden (wenngleich ein wenig spät) sollte man nochmal einen Blick auf den Beitrag werfen, und ggfs. die Korrekturen dann nachreichen.

Zitat:

Original von Falti
Sei L : X × Y × R ? [0, ?) eine Lipschitz-stetige Funktion mit L(x, y, y) = 0.

Gemeint könnte sein $\begin{eqnarray*} L:\;X\times Y\times \mathbb{R} \to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ , und die Lipschitzstetigkeit bezieht sich offenbar auf die dritte Komponente (die ersten beiden $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ besitzen ja soweit erkennbar gar keine metrische Struktur), mit einer von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ unabhängigen Lipschitzkonstanten $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Falti
Definiere J :X×Y ×R?R, J(x,y,t):=L(x,y,t)?L(x,y,0).

Auch das soll wohl heißen $\begin{eqnarray*} J:\;X\times Y\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} J(x,y,t):=L(x,y,t)-L(x,y,0) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Falti
Sei f: X ? R eine beliebige, aber messbare Funktion. Zeigen Sie: f ? L1(PX), dann gilt RJ,P(f) ? R

$\begin{eqnarray*} f:\;X\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\in L^1(P_X) \end{eqnarray*}$ kann ich noch übersetzen, beim Zeilenende strecke ich dann aber die Waffen, da ich keine Ahnung habe, was du mit RJ oder P(f) meinst.

Die Integralabschätzung scheint soweit korrekt zu sein, falls die Lipschitzstetigkeit so wie oben schon erwähnt gemeint ist.

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