Grenzwerte

22.10.2018, 20:24

Blerim

Grenzwerte

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} x_{1}\left\{ b+(1-b)\frac{x_{2} }{x_{1} }^{1-\frac{1}{a} } \right\} ^{\frac{a}{a-1} } =x_{1} \lim_{a \to 0} b^{\frac{a}{a-1} } =x_{1} \end{eqnarray*}$

Hallo, wie gehe ich mit dem Grenzwert hier um, ich weiß nicht, wie ich umformen soll?

Zur Info X2/X1 ist größer 1

Meine Ideen:
DIe Lhospital Regel.

22.10.2018, 21:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Blerim
Zur Info X2/X1 ist größer 1

Das bringt nicht viel - es sei denn, es geht abweichend von deiner obigen Angabe tatsächlich um $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} x_{1}\left\{ b+(1-b){\color{red}\bigg(}\frac{x_{2} }{x_{1}}{\color{red}\bigg)}^{1-\frac{1}{a} } \right\} ^{\frac{a}{a-1} } \end{eqnarray*}$ . verwirrt

So, wie du es geschrieben hast, bezieht sich der Exponent $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ nur auf $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

Zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sollte auch noch was gesagt werden. Für $\begin{eqnarray*} b<1 \end{eqnarray*}$ etwa gilt das Ergebnis oben nicht.

22.10.2018, 22:14

Blerim

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Hallo HAL 9000, die rote Klammer hast du richtig hinzugefügt, die habe ich nicht korrekt in der Frage aufgeschrieben.

Zu b, b liegt zwischen 0 und 1, es ist eine Nutzenfunktion und beschreibt die Präferenzen des Konsumenten für das Gut 1, also x1.

22.10.2018, 22:22

Blerim

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Ich verstehe nicht, wie man jetzt auf dieses Ergebnis kommt, sitze schon die ganze Zeit davor. ich denke, man muss es irgendwie umformen, sodass das a im Exponenten nicht mehr im Nenner steht, sondern im Zähler, aber es darf sich an sich nichts verändern.

22.10.2018, 22:28

Blerim

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$\begin{eqnarray*} (1-b) \left(\frac{x_{2} }{x_{1} } \right)^{1-\frac{1}{a} } \end{eqnarray*}$ , kann es sein, dass das wegfällt aus irgendwelchen Gründen.

22.10.2018, 23:15

HAL 9000

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Ok, also $\begin{eqnarray*} 0<b<1 \end{eqnarray*}$ . Das Problem ist, dass der Grenzwert dann gar nicht existiert: Wir haben dann den rechtsseitigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\searrow 0} x_1\left\{ b+(1-b)\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{1-\frac{1}{a}} \right\}^{\frac{a}{a-1}} = \lim_{a\searrow 0} x_1 b^{\frac{a}{a-1}} = x_1 \end{eqnarray*}$ ,

der sich vom linksseitigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\nearrow 0} x_1\left\{ b+(1-b)\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{1-\frac{1}{a}} \right\}^{\frac{a}{a-1}} = \lim_{a\nearrow 0} x_1\left\{ b\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{1-\frac{1}{a}}+(1-b) \right\}^{\frac{a}{a-1}} \frac{x_2}{x_1} = \lim_{a\nearrow 0} x_2 (1-b)^{\frac{a}{a-1}} = x_2 \end{eqnarray*}$

unterscheidet.

22.10.2018, 23:21

Blerim

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Ja, also das muss auch so sein. Mich interessiert nur die Umformung, wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} x_{1} b^{\frac{a}{a-1} } \end{eqnarray*}$

22.10.2018, 23:26

HAL 9000

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altkluge Bemerkung

Zitat:

Original von Blerim
Ja, also das muss auch so sein.

Interessant - und warum schreibst du dann falsch im Eröffnungsposting, dass der Grenzwert existiert? unglücklich

22.10.2018, 23:29

Blerim

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War nicht böse gemeint, ich wollte nur wissen, wie man dies umformt. Ich will nicht mehr.

23.10.2018, 10:29

Blerim

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hallo

23.10.2018, 11:02

Blerim

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Ist das so schwer?

23.10.2018, 12:29

HAL 9000

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Nanana, das ist hier kein 24/7-Service, du musst schon mal etwas mehr Geduld zeigen! Außerdem stehen oben doch die Umformungen da, ich kann sie natürlich noch etwas mehr im Detail erläutern:

Im ersten Fall ist $\begin{eqnarray*} \lim_{a\searrow 0} \left(1-\frac{1}{a}\right) = -\infty \end{eqnarray*}$ , und daher für das hier vorausgesetzte $\begin{eqnarray*} \frac{x_2}{x_1}>1 \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\searrow 0} \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^{1-\frac{1}{a}} = \lim_{t\to -\infty} \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^t = 0 \end{eqnarray*}$

Im zweiten Fall wird zunächst ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} b + (1-b)\left( \frac{x_2}{x_1} \right)^{1-\frac{1}{a}} = \left\{ b\left( \frac{x_1}{x_2} \right)^{1-\frac{1}{a}} + (1-b)\right\}\cdot \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^{1-\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$ ,

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \left\{ b + (1-b)\left( \frac{x_2}{x_1} \right)^{1-\frac{1}{a}}\right\}^{\frac{a}{a-1}} = \left\{ b\left( \frac{x_1}{x_2} \right)^{1-\frac{1}{a}} + (1-b)\right\}^{\frac{a}{a-1}}\cdot \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^{\left(1-\frac{1}{a}\right)\cdot \frac{a}{a-1}} = \left\{ b\left( \frac{x_1}{x_2} \right)^{1-\frac{1}{a}} + (1-b)\right\}^{\frac{a}{a-1}}\cdot \frac{x_2}{x_1} \end{eqnarray*}$ ,

und es ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{a\nearrow 0} \left(1-\frac{1}{a}\right) = \infty \end{eqnarray*}$ , und folglich

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\nearrow 0} \left( \frac{x_1}{x_2} \right)^{1-\frac{1}{a}} = \lim_{t\to \infty} \left( \frac{x_1}{x_2} \right)^t = 0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{x_1}{x_2} < 1 \end{eqnarray*}$ .

23.10.2018, 13:28

Blerim

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Boa, super Hal 9000, du bist ein Genie!

23.10.2018, 16:19

Blerim

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Heureka , ich habe es verstanden, vielen Danke. HAL 9000, isch schwöre, ich liebe dich mehr als meinen Bruder.

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