Vollständige Induktion, einfaches Beispiel

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Mathomo Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion, einfaches Beispiel
Meine Frage:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n aus den natürlichen Zahlen
f(n):= 1+3+5+...+(2n-1)= n^2 gilt.



Meine Ideen:
Mein Ansatz:

1.) Induktionsanfang:

n= 1: Summe von i=1 für (2i-1) von i=1 bis n = n^2
1=1 eine wahre Aussage

2.) Induktionsschluss

Induktionsvoraussetzung: n=k

die Summe aus i=1 für (2i-1) von 1 bis k = k^2

Induktionsbehauptung: gilt für n=k+1

die Summe aus i=1 für (2i-1) von i=1 bis k+1 = (k+1)^2
= k^2+2k+1

aus der Voraussetzung folgt nun die Behaupptung:

Summe aus i=1 für (2i-1) bis (k+1) + (k+1) = k^2+(k+1)
= k^3+1

? Irgendwo habe ich einen Fehler gemacht, könnte mir jemand bitte weiterhelfen?
Mathomo Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: es müsste lauten

n= 1: Summe von i=1 für (2i-1) von i=1 bis n
1=1 eine wahre Aussage
Mathomo Auf diesen Beitrag antworten »

zweiter Edit:

Edit: es müsste lauten

1.) Induktionsanfang:

n= 1: Summe von i=1 für (2i-1) von i=1 bis n = n^2
1=1 eine wahre Aussage
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion, einfaches Beispiel
Wenn Du das Ganze mal ordentlich aufschreibst, dann wird's hoffentlich klarer:

Beh.:

IV: Sei die Beh. für bereits bewiesen.

IS:

Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion, einfaches Beispiel
Wie sähe eigentlich der einfachste Induktionsbeweis aus, den es gibt? Wäre das der Beweis, dass jede nat. Zahl einen Nachfolger hat?

IA: 0 -> 0' per PA 2
IS: (n -> n') -> (n+1 -> n+1') und der Konsequens ist wahr wg. PA 2
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