Zwischenwertsatz ?

24.10.2018, 16:16

Math2

Zwischenwertsatz ?

Meine Frage:
a sei kleiner als b.Weiter sei f : ( a, b ) eine monoton wachsende Funktion. Desweiteren gelte $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(y) \end{eqnarray*}$ . Es soll nun gezeigt werden, dass ein s in ( a,b ) mit f(s) = s existiert

Meine Ideen:
Mir ist bekannt, dass eine monoton wachsende Funktion gegen einen Grenzwert strebt bzw. konvergiert und stetig ist .Nun weiß ich aber nicht wie ich dies in Beweisform darlegen soll ?

24.10.2018, 17:06

HAL 9000

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Du hast da wohl entscheidende Informationen über die Zielmenge der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vergessen anzugeben...

Zitat:

Original von Math2
Desweiteren gelte $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(y) \end{eqnarray*}$ .

Ohne Informationen zu $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ist auch diese Aussage komplett sinnfrei - die hängt komplett in der Luft. unglücklich

24.10.2018, 20:11

Math2

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f (x ) sei ein Element von ( a,b ) und für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in (a,b ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f8y) \end{eqnarray*}$ . Dies müsste die benötigte Zusatzinformation sein !

24.10.2018, 20:19

HAL 9000

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Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{a+x}{2} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f((a,b))\subset (a,b) \end{eqnarray*}$ , die Funktion ist streng monoton wachsend, aber es gibt kein $\begin{eqnarray*} s\in (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s)=s \end{eqnarray*}$ .

Wie es scheint, fehlt immer noch was.

25.10.2018, 10:35

Math2

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Ich gebe hier nochmal kurzgefasst die Informationen die gegeben sind :

1. $\begin{eqnarray*} a,b\in R \end{eqnarray*}$ , 2. $\begin{eqnarray*} f : (a,b)\Rightarrow (a,b ) \end{eqnarray*}$ ( monoton wachsend )

3. für jedes $\begin{eqnarray*} x\in (a,b ) \end{eqnarray*}$ 4. f (x) Element von (a,b )

5. für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in (a,b ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} f(x) \leq f(y) \end{eqnarray*}$

Hinweis : Es soll die Menge ( x $\begin{eqnarray*} x\in (a,b ) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f(x)\leq x \end{eqnarray*}$ betrachtet werden !

Zeigen Sie , dass ein $\begin{eqnarray*} s\in (a,b ) \end{eqnarray*}$ mit f(s) = s existiert

25.10.2018, 10:46

HAL 9000

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Das Gegenbeispiel bleibt bestehen.

Dir ist klar, dass die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ üblicherweise das offene Intervall meint, d.h., ohne die Randpunkte $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ? Wenn du das geschlossene Intervall meinst, dann schreibe $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .

25.10.2018, 13:43

Math2

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Ich meinte das geschlossene Intervall ! Ich hoffe nun hat sich der Disput um die Missverständnisse gelegt und die Aufgabe lässt sich sauber lösen ?

25.10.2018, 14:31

HAL 9000

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Naja, dann befolge doch den Hinweis, d.h., betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} M:=\left\{ x\in [a,b] \mid f(x)\leq x \right\} \end{eqnarray*}$ .

Man kann nun den Beweis indirekt führen, d.h., man nimmt an, es gibt kein solches $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s)=s \end{eqnarray*}$ . In dem Fall ist sogar $\begin{eqnarray*} M=\left\{ x\in [a,b] \mid f(x)<x \right\} \end{eqnarray*}$ .

Und noch ein wenig mehr Starthilfe: Es ist $\begin{eqnarray*} b\in M \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ , außerdem ist M nach unten durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ beschränkt, somit existiert $\begin{eqnarray*} m:=\inf M \end{eqnarray*}$ und es ist $\begin{eqnarray*} m\geq a \end{eqnarray*}$ . Jetzt untersuche mal, was bei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bzw. in dessen Umgebung mit den Funktionswerten passiert, da lässt sich mehr oder weniger schnell ein Widerspruch zur vorausgesetzten Monotonie konstruieren.

P.S.: Der Zwischenwertsatz lässt sich hier natürlich nicht anwenden, da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht als stetig vorausgesetzt ist, und es i.a. auch nicht ist.

26.10.2018, 11:26

Math2

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Grüß dich und danke für die Tipps HAL 9000 !

Du behauptest es ließe sich ein Widerspruch zur vorausgesetzten Monotonie kontruieren. Bedeutet dies aber dann nicht, dass in der Aufgabenstellung dem Leser eine unkorrekte Angabe gemacht wurde ? Ich war auch schon etwas irritiert, da meines Erachtens wenn a kleiner b das geschlossene Intervall ( a,b ) nicht monoton wachsend sein kann ! Oder bin ich wieder auf dem falschen Dampfer unterwegs ?

26.10.2018, 11:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Math2
Du behauptest es ließe sich ein Widerspruch zur vorausgesetzten Monotonie kontruieren. Bedeutet dies aber dann nicht, dass in der Aufgabenstellung dem Leser eine unkorrekte Angabe gemacht wurde ?

Nein! Nur dann, wenn wir annehmen, dass kein $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s)=s \end{eqnarray*}$ existiert (das ist die Negation der eigentlichen Behauptung), gelangt man zu einem Widerspruch.

Noch nie von Indirekter Beweis gehört? verwirrt

26.10.2018, 13:09

Math2

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Gehört habe ich vom indirekten Beweis schon ! Aber noch nie musste ich einen anwenden !

26.10.2018, 13:23

HAL 9000

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indirekter Beweis
Dann ist das heute hier deine Premiere. Augenzwinkern

27.10.2018, 19:45

Math2

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Es soll wie bereits angesprochen gezeigt werden, dass f(s) = s gilt ! Ist dieses s ein willkürlich gewählter Buchstabe oder bedeutet er Schranke !

27.10.2018, 21:14

Guppi12

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Das ist ein willkürlich gewählter Buchstabe.
Kleiner Hinweis: Frage- und Ausrufezeichen stehen direkt hinter dem letzten Buchstaben, da gehört keine Lücke hin.

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