Kann eine reelle Funktion deren Bild genau den Irrationalen Zahlen entspricht stetig sein?

24.10.2018, 17:33	KKis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann eine reelle Funktion deren Bild genau den Irrationalen Zahlen entspricht stetig sein? Meine Frage: Kann eine reelle Funktion deren Bild genau den Irrationalen Zahlen entspricht stetig sein? 1. in einem Punkt 2. auf einem Intervall Meine Ideen: zu 1. : Mit der epsilon-delta Definiton konnte ich keine einfachen Widerspruch herleiten, die Irrationalen Zahlen sind ja immerhin dicht. zu 2. : Nein, das ist nicht möglich: Das Bild eines (zusammenhängenden) Intervalls kann nicht zusammenhängenden sein. meine gegenwärtige Situation: Ich kenne keine Methode um 1. zu widerlegen, jedoch misslingt mir jeder Versuch eine solche (stetige) Funktion zu konstruieren (ich finde keine möglichen Werte für die rationalen Zahlen). Kennt jemand eine Quelle/ kann mir jemand helfen ?
24.10.2018, 17:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau verstehst du unter einer reellen Funktion? Anscheinend nicht das, was die Mehrheit darunter versteht: https://de.wikipedia.org/wiki/Reellwertige_Funktion
24.10.2018, 17:49	KKis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Deine Antwort Unter einen reellen Funktion verstehe ich eine Funktion die 1. reellwertig. 2. auf den reelen Zahlen definiert ist. da die irrationalen Zahlen eine Teilmenge der Reellen sind trifft auch a) natürlich zu Letztlich sollte der Definitionsbereich nicht entscheidend sein, solange es sich um einen metrischen Raum handelt und dieser mächtig genug ist.
24.10.2018, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es eine surjektive reelle Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to \mathbb R\backslash \mathbb Q \end{eqnarray}$ gibt, dann setze $\begin{eqnarray} g(-1,1)=\pi, g(x)=f(x-1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\gt 1, g(x)=f(x+1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\lt -1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} g:\mathbb R\to \mathbb R\backslash \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist dann auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ stetig. Für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kann man $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ irrational, $\begin{eqnarray} f(x)=\pi \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ rational wählen. (Man braucht einen ziemlich gut gespitzten Stift, um die beiden Funktionen zu zeichnen. )
24.10.2018, 18:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für meine Anmerkung oben: Hatte meine Brille nicht geputzt und "imaginär" statt "irrational" gelesen.
25.10.2018, 12:36	KKis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Die Konstruktion tuts natürlich ... Dankesehr
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