Ordnung

24.10.2018, 20:24

georg2000

Ordnung

Hallo, sind a und b ganze Zahlen. Man sagt a teilt b wenn es eine ganze Zahl k gibt sodass ak=b.
Also definiert man sich eine Relation auf N und Z .Auf welcher dieser beiden Mengen, ist dies eine Ordnungsrelation bzw. eine Totalordnung.

Da unser Vortragende nicht da ist , sollen wir die Begriffe uns selbst beibringen.
Wikipedia sagt :
https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation
so etwas ist mit einer Kleinergleich Beziehung verbunden, bei mir ist dieses kleinergleich einfach die Teilbarkeit.
Dh ich muss diese 4 EIgenschaften zeigen:

a) $\begin{eqnarray*} a=1*a \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a|a \end{eqnarray*}$
b) es gelte $\begin{eqnarray*} a|b , b|a \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} b=xa \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=yb \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} a=yb=yxa \end{eqnarray*}$ weil man sich hier in den natürlichen Zahlen befindet folgt direkt $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} a=1*b=b \end{eqnarray*}$
c)es gelte $\begin{eqnarray*} a|b , b|c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b=xa \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=yb \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} c=yb=yxa \end{eqnarray*}$ weil nun yx eine natürliche Zahl ist folgt $\begin{eqnarray*} a|c \end{eqnarray*}$
d)diese Totalität ist nicht richtig im allgemeinen da 3 teilt nicht 2 und 2 teilt nicht 3 .

was ich jetzt wissen will ist , stimmen meine Überlegungen?
Und habe ich das nötige bewiesen? ich kann Totalordnung bzw. Ordnungsrelation nicht so ganz trennen`?

die Eigenschaften hier gehen für Z analog.

24.10.2018, 23:57

zweiundvierzig

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RE: Ordnung
Es ist zweierlei anzumerken.

Erstens fallen in deinem Aufschrieb Elemente vom Himmel: Fange an mit "Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ". Später dann: "Gilt $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} b = xa \end{eqnarray*}$ " usw.

Zweitens ist das hier noch nicht ausreichend:

Zitat:

Original von georg2000
also $\begin{eqnarray*} a=yb=yxa \end{eqnarray*}$ weil man sich hier in den natürlichen Zahlen befindet folgt direkt $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$

Gehe die Argumentation mal Schritt für Schritt durch.

Zitat:

Original von georg2000
ich kann Totalordnung bzw. Ordnungsrelation nicht so ganz trennen`?

Ich gehe davon aus, dass eine Ordnungsrelation nach eurer Definition eine binäre Relation ist, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Das nennt man auch partielle Ordnung. Eine totale Ordnung ist eine partielle Ordnung, in der je zwei Elemente vergleichbar sind.

Teilbarkeit ist auf den natürlichen Zahlen eine partielle Ordnung, wie du richtig erkannt hast. Aber wie sieht es auf den ganzen Zahlen aus?

25.10.2018, 00:12

georg2000

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RE: Ordnung
Okay dann muss ich sauberer sein , ich hoffe jedoch du verstehst worauf ich hinaus wollte Augenzwinkern

wenn $\begin{eqnarray*} a=yxa \end{eqnarray*}$ heist das weil $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist . das $\begin{eqnarray*} a|a \end{eqnarray*}$ weil wir aber wissen das geht nur wenn $\begin{eqnarray*} a=1*a \end{eqnarray*}$ daraus habe ich gefolgert dass $\begin{eqnarray*} xy=1 \end{eqnarray*}$ und wenn $\begin{eqnarray*} x,y \in N \end{eqnarray*}$ folt dass sie beide 1 sind .

Das heist eine Totalordnung wäre eine Ordnungsrelation (partielle Ordnung) +Totalität.
diese Eigenschaft gilt aber durch das Gegenbeispiel nicht.

Über den natürlichen Zahlen ist Teilbarkeit auch eine Relation würde ich sagen , ich kann x,y die Buchstaben die ich gewählt habe , auch aus ganz Z verwenden.
zb 3 teilt 6 und auch -3 teilt 6 . weil 6=2*3=-2*-3

25.10.2018, 00:30

zweiundvierzig

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RE: Ordnung

Zitat:

Original von georg2000
das $\begin{eqnarray*} a|a \end{eqnarray*}$ weil wir aber wissen das geht nur wenn $\begin{eqnarray*} a=1*a \end{eqnarray*}$

Fragwürdige Formulierung. Wir haben $\begin{eqnarray*} a = yxa \end{eqnarray*}$ . Wie können wir auf $\begin{eqnarray*} xy = 1 \end{eqnarray*}$ schließen? An dieser Stelle ist es auch wichtig zu wissen, ob $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bei euch Element der natürlichen Zahlen ist.

Zitat:

Original von georg2000
Das heist eine Totalordnung wäre eine Ordnungsrelation (partielle Ordnung) +Totalität.
diese Eigenschaft gilt aber durch das Gegenbeispiel nicht.

Welches Gegenbeispiel?

Zitat:

Original von georg2000
Über den natürlichen Zahlen ist Teilbarkeit auch eine Relation würde ich sagen

Eine Relation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist bloß eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Die Frage ist, welche zur Debatte stehenden Eigenschaften sie hat bzw. nicht hat.

25.10.2018, 00:44

georg2000

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RE: Ordnung
Wir haben mit N die natürlichen Zahlen ab 1 gemeint , sonst gilt das nicht mit der 1 zwingend.

2 teilt nicht 3 und 3 teilt nicht 2.,das immer gilt $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b|a \end{eqnarray*}$ .

okay die selben Eigenschaften die wir für N nachgewiesen haben gelten auch in Z.

28.10.2018, 18:55

zweiundvierzig

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Wenn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthalten ist, entfällt eine Fallunterscheidung bei der Antisymmetrie.

Dennoch, du argumentierst, dass für $\begin{eqnarray*} x,y,a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a = xya \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} xy = 1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$ . Die Gültigkeit dieser Argumentation musst du aber auch beweisen. Hier gibt es u.U. mehrere Möglichkeiten.

In der Tat ist die Ordnung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nicht total (s. dein Gegenbeispiel).

Gelten wirklich alle Eigenschaften einer Ordnung auch für die Teilbarkeitsrelation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

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