Gruppe

24.10.2018, 22:08

georg2000

Gruppe

Hallo es ist (G,.) eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} k\in G \end{eqnarray*}$ .Für $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} a*b=a.k.b \end{eqnarray*}$ . man soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine Gruppe ist.

1) AG : Seien a,b,c Elemente in G
dann ist $\begin{eqnarray*} (a*b)*c=(a.k.b).k.c=a.k.(b.k.c)=a*(b.k.c)=a*(b*c) \end{eqnarray*}$ für . gilt ja das AG.

2) das neutrale Element e von . sei gegeben.
es ist $\begin{eqnarray*} a*e=a.k.e=e.a.k \end{eqnarray*}$ ich muss dass auf $\begin{eqnarray*} e.k.a=a \end{eqnarray*}$ bringen.

3) das Inverse von a sei i dann muss gelten $\begin{eqnarray*} a*i=i'a=e \end{eqnarray*}$

bei 2 und 3 tue ich mir schwer das so hinzubringen kann mir wer helfen bei dem umformen? Danke!!

24.10.2018, 23:24

zweiundvierzig

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(1) sieht gut aus. Neben der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ benutzt du hier noch eine weitere Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ .

Zu (2): Wie ist denn $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ zu wählen, sodass $\begin{eqnarray*} e.k.a= a \end{eqnarray*}$ gilt? Dies ist eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , die du entsprechend umformen kannst.

Zu (3): Hier ist $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ kein guter Name. Für $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse bezüglich $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ das Inverse bezüglich $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ . Es soll $\begin{eqnarray*} a*a' = e \end{eqnarray*}$ gelten, wobei $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das (in (2) noch zu berechnende) neutrale Element bezüglich $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Außerdem fehlt dir noch eine Eigenschaft, die du für $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ verifizieren musst, damit $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist.

25.10.2018, 00:02

georg2000

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Hallo ,
1) Welche Eigenschaften meinst du?
2) kann man einfach umstellen sodass $\begin{eqnarray*} e=k^{-1} \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} e.k.a=k^{-1}.k.a=e.a=a \end{eqnarray*}$
andererseits auch $\begin{eqnarray*} a.k.e=a.k.k^{-1}=a.e=a \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} a*a'=a.k.a' \end{eqnarray*}$ aber wie gehts weiter hmm

du meinst noch 4)..? welche ist das?

25.10.2018, 00:10

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von georg2000
1) Welche Eigenschaften meinst du?

Das frage ich dich. Schau dir die Definition einer Gruppe nochmal an.

Zitat:

Original von georg2000
2) kann man einfach umstellen sodass $\begin{eqnarray*} e=k^{-1} \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von georg2000
dann ist $\begin{eqnarray*} e.k.a=k^{-1}.k.a=e.a=a \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht.

Zitat:

Original von georg2000
andererseits auch $\begin{eqnarray*} a.k.e=a.k.k^{-1}=a.e=a \end{eqnarray*}$

Es genügt, sich nur auf Überprüfung von Links-Neutralität und Links-Inversität einzuschränken, da dies Rechts-Neutralität und Rechts-Inversität impliziert. Aber ich weiß nicht, ob ihr das diskutiert habt.

Zitat:

Original von georg2000
3) $\begin{eqnarray*} a*a'=a.k.a' \end{eqnarray*}$ aber wie gehts weiter hmm

Welche Gleichung soll denn für $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ gelten?

25.10.2018, 00:27

georg2000

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ich brauche noch : Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente a und b gilt: $\begin{eqnarray*} (a*b) \in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a*b=a.k.b \end{eqnarray*}$ weil aber $\begin{eqnarray*} (k.b) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist weil $\begin{eqnarray*} (G,.) \end{eqnarray*}$ Gruppe ist so ist es auch $\begin{eqnarray*} a.(k.b) \end{eqnarray*}$

Okay , wo liegt der Fehler darf ich nicht das e einsetzen?

es muss gelten dass $\begin{eqnarray*} a'*a=e \end{eqnarray*}$ ist

25.10.2018, 00:42

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von georg2000
ich brauche noch : Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente a und b gilt: $\begin{eqnarray*} (a*b) \in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a*b=a.k.b \end{eqnarray*}$ weil aber $\begin{eqnarray*} (k.b) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist weil $\begin{eqnarray*} (G,.) \end{eqnarray*}$ Gruppe ist so ist es auch $\begin{eqnarray*} a.(k.b) \end{eqnarray*}$

Einzelne Elemente sind nicht abgeschlossen. Vielmehr ist die Menge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abgeschlossen unter der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} * \cdot G \times G \to G \end{eqnarray*}$ . Warum ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auch abgeschlossen bezüglich $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von georg2000
Okay , wo liegt der Fehler darf ich nicht das e einsetzen?

Was ist denn $\begin{eqnarray*} k.k^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

An dieser Stelle sage ich Gute Nacht. Schläfer

25.10.2018, 01:11

georg2000

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Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} GxG \rightarrow G \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe laut Voraussetzung , dh (a.b) ist wieder ein Element in G.
Abgeschlossenheit gehört zu der Definition einer Gruppe.
2)
Achso $\begin{eqnarray*} k.k^{-1}=e \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} e*a=e.k.a=k.k^{-1}.k.a=k.a \end{eqnarray*}$

dann muss $\begin{eqnarray*} e=k^{-1} \end{eqnarray*}$ sein.

3) $\begin{eqnarray*} a'*a=e \end{eqnarray*}$ das heist wenn $\begin{eqnarray*} a'.k.a=e \end{eqnarray*}$ sein soll brauche ich $\begin{eqnarray*} a'=a^{-1}.k^{-1} \end{eqnarray*}$
dann wäre nähmlich $\begin{eqnarray*} a'.k.a=a^{-1}.k^{-1}*k.a=a^{-1}e.a=a^{-1}.a.e=e.e=e \end{eqnarray*}$ .

Deswegen hast du auf die Bezeichnung geachtet smile

sry das ich mich etwas schwer anstelle für mich ist das nicht so einfach smile

28.10.2018, 18:40

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von georg2000
dann muss $\begin{eqnarray*} e=k^{-1} \end{eqnarray*}$ sein.

Das ist richtig. Aber hier hast du dich vertan:

Zitat:

Original von georg2000
$\begin{eqnarray*} e*a=e.k.a=k.k^{-1}.k.a=k.a \end{eqnarray*}$

Schreibe $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ für das neutrale Element bzgl. $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ für das neutrale Element bzgl. $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ . Wie muss die Rechnung aussehen?

Zitat:

Original von georg2000
Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} GxG \rightarrow G \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe laut Voraussetzung , dh (a.b) ist wieder ein Element in G.
Abgeschlossenheit gehört zu der Definition einer Gruppe.

Ja, ich hatte mich aber leider in meiner Frage verschrieben. Es müsste heißen: Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abgeschlossen unter $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ ist. Warum ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auch abgeschlossen unter $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von georg2000
3) $\begin{eqnarray*} a'*a=e \end{eqnarray*}$ das heist wenn $\begin{eqnarray*} a'.k.a=e \end{eqnarray*}$ sein soll brauche ich $\begin{eqnarray*} a'=a^{-1}.k^{-1} \end{eqnarray*}$
dann wäre nähmlich $\begin{eqnarray*} a'.k.a=a^{-1}.k^{-1}*k.a=a^{-1}e.a=a^{-1}.a.e=e.e=e \end{eqnarray*}$ .

Das solltest du dir auch nochmal neu überlegen, nachdem du meinen Kommentar zu 2) berücksichtigst.

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