Beiweis eines Grenzwertsatzes & die Dreiecksungleichung

25.10.2018, 11:02	Em1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Beiweis eines Grenzwertsatzes & die Dreiecksungleichung Sehr geehrte Matheboard Community, Vorwort: Mein Problem ist folgendes. Und zwar geht es um den Beweis, das bei zwei konvergenten Folgen $\begin{eqnarray} (a_{n} )n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_{n} ) n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ folgendes gilt: Gegeben: Es ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_{n} = a \end{eqnarray}$ & $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } b_{n} = b \end{eqnarray}$ Bewiesen werden soll nun $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_{n} + b_{n} = a + b \end{eqnarray}$ . Im folgenden wird mit dem Epsilon (für welches ich einfach ein E einsetzen werde, bloß nicht verwirren lassen) Intervall Bewiesen. Beweis (?): Demnach müsste ja folgendes gelten: $\begin{eqnarray} \| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) \| < E \end{eqnarray}$ also umgestellt $\begin{eqnarray} \| (a_{n} - a) + (b_{n} - b) \| < E \end{eqnarray}$ Frage: Nun ist ja klar, dass durch das Gegebene beide Summanden beliebig klein werden können. Mir ist jedoch unklar warum bei dem Beweis (ich kann nicht garantieren das meine Quelle richtig ist, also korrigiert mich gerne. Ich bin so ziemlich komplett neu in der Welt der Beweise und Analysis! Bitte habt verständniss.) der mir vorliegt nun noch die Dreiecksungleichung verwendet wird um zu zeigen: $\begin{eqnarray} \| (a_{n} - a) + (b_{n} - b) \| \leq \| a_{n} - a \| + \| b_{n} - b \| \end{eqnarray}$ Der Rest des Beweises bestand daraus das man eben beide Summanden beliebig klein machen kann und somit beide teile kleiner als Epsilon halbe werden können. Einzig und allein der logische Sinn hinter der Dreiecksungleichung ist mir noch nicht wirklich so bekannt, was vielleicht auch daran liegt das dies alles Neuland für mich ist und ich auch noch nie so viel mit Beträgen und Ungleichungen gearbeitet habe. Es wäre wirklich Nett falls jemand dies ein wenig erläutern könnte! Mfg P.
25.10.2018, 11:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beweis muss beweisen, was man beweisen möchte. Ohne Anwendung der Dreiecksungleichung kannst du nur vermuten, dass der Betrag der Summe beliebig klein wird. Nach Anwendung der Dreiecksungleichung folgt die Aussage aus der Voraussetzung über die einzelnen Folgen. Vorher kann man es glauben, man kann's auch bleiben lassen. Danach weiß man es. Eine Schwierigkeit ist, dass die beiden Folgen für völlig verschiedene $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kleiner als $\begin{eqnarray} \frac {\epsilon} 2 \end{eqnarray}$ werden. Wie willst du das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in der Summe wählen ? Wenn du sagst, dass die Summanden beliebig klein werden, trennst du die Summe gedanklich auf. Die Dreiecksungleichung macht die Trennung explizit.
25.10.2018, 11:51	Em1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Einleuchtend! Vielen dank für die schnelle Antwort! Und nachdem Aufteilen gibt es ja ein $\begin{eqnarray} N1 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \forall n\geq N1: \| a_{n} - a \| < \frac{E}{2} \end{eqnarray}$ . Genauso gibt es ein N2 für die zweite Folge. Wählen würde man dann ja praktisch $\begin{eqnarray} N = max\left\{ N1, N2\right\} \end{eqnarray}$ (Edit: Natürlich gilt seit Anfang an E > 0. Hab ich vergessen!) Falls es noch den anschein hat das ich irgendetwas missverstehen würde, einfach korrigieren : ) ! Mfg.

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