geometrische Summe?

25.10.2018, 11:05	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Summe? Hallo, es geht um folgende Summenberechnung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}\|1- z_k\| \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ Lösung von $\begin{eqnarray} z^n=1 \end{eqnarray}$ sind: Ich erhalte: $\begin{eqnarray} z_k= cos(\frac{ 2\pi k}{n}) + i sin (\frac{ 2\pi k}{n}) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \|1-z_k\|= \sqrt{ 2-2 cos(\frac{ 2\pi k}{n} )) } = 2 sin( \frac{\pi k}{n}) \end{eqnarray}$ Wie kann ich das summieren?
25.10.2018, 11:19	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: geometrische Summe? Siehe Komplexe Zahlen, Summe der Beträge Für die Summation ist die folgende Identität nützlich: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \sin (kx)=\sin (\frac n 2 x) \frac {\sin(\frac {n+1} 2 x)}{\sin(\frac x 2)} \end{eqnarray}$ Falls weitere Fragen: Ich bin vermutlich erst morgen wieder im Board.
25.10.2018, 11:21	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: geometrische Summe? Danke Huggy. Anscheind kommt der cot... raus, aber wie kommt man darauf aus deiner Identität?
25.10.2018, 12:30	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: geometrische Summe? Alles klar. Danke Huggy. Bin auf den Trick gekommen. Bis bald
25.10.2018, 14:06	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: geometrische Summe? Berechne zunächst $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{ix}\right)^k \end{eqnarray}$ mit Hilfe der geom. Summenformel. Das Ergebnis lässt sich dann mit Hilfe der Eulerschen Formeln umschreiben und hier ist nur dessen Imaginärteil von Interesse. Einsetzen von $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}n \end{eqnarray}$ liefert dann: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}n\right)}{1-\cos\left(\frac{\pi}n\right)}. \end{eqnarray}$
25.10.2018, 16:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das auch so machen. Mit $\begin{align} \omega = \operatorname{e}^{\frac{\pi \operatorname{i}}{2n}} \end{align}$ sind die $\begin{align} \omega^{4k} \end{align}$ mit $\begin{align} 0 \leq k \leq n-1 \end{align}$ die n-ten Einheitswurzeln. Dann ist $\begin{align} s = \sum_{k=0}^{n-1} \left\| 1 - \omega^{4k} \right\| \end{align}$ gesucht. Für komplexes $\begin{align} z \end{align}$ ist $\begin{align} \|z\| = \left( z \bar{z} \right)^{\frac{1}{2}} \end{align}$ , wo die Hochzahl für die positive reelle Quadratwurzel steht. Für Einheitswurzeln erfolgt der Übergang zum Konjugierten durch eine Vorzeichenänderung im Exponenten. In der Summe oben kann man daher folgendermaßen umformen: $\begin{align} s = \sum_{k=0}^n \left( \left( 1 - \omega^{4k} \right) \cdot \left( 1 - \omega^{-4k} \right) \right)^{\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^n \left( - \left( \omega^{4k} + \omega^{-4k} - 2 \right) \right)^{\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^n \left( - \left( \omega^{2k} - \omega^{-2k} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{align}$ Unter der Summe heben sich jetzt das Quadrat und die Quadratwurzel auf. Man muß nur mit dem Vorzeichen vorsichtig sein, denn insgesamt muß sich ein positiver reeller Wert ergeben, da es sich ja nur um einen umgeformten Betrag handelt. Von den beiden möglichen Werten $\begin{align} \pm \operatorname{i} \left( \omega^{2k} - \omega^{-2k} \right) \end{align}$ ist der mit dem negativen Vorzeichen der richtige. Denn die Differenz der Klammer ergibt eine rein-imaginäre Zahl mit nichtnegativem Imaginärteil, da die $\begin{align} \omega^{2k} \end{align}$ in der oberen und ihre Konjugierten $\begin{align} \omega^{-2k} \end{align}$ in der unteren Halbebene liegen ( $\begin{align} 0 \leq k \leq n-1 \end{align}$ ). Oben rechnet man mit der Formel für eine geometrische Summe weiter: $\begin{align} s = \sum_{k=0}^{n-1} \left\| 1 - \omega^{4k} \right\| = - \operatorname{i} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \omega^{2k} - \omega^{-2k} \right) = - \operatorname{i} \left( \frac{\omega^{2n} - 1}{\omega^2 - 1} - \frac{\omega^{-2n} - 1}{\omega^{-2} - 1} \right) = 2 \operatorname{i} \left( \frac{1}{\omega^2 - 1} - \frac{1}{\omega^{-2} - 1} \right) \end{align}$ $\begin{align} = 2 \operatorname{i} \cdot \frac{\omega^2 - \omega^{-2}}{\omega^2 + \omega^{-2} - 2} = 2 \operatorname{i} \cdot \frac{\omega + \omega^{-1}}{\omega - \omega^{-1}} = 2 \cdot \frac{\frac{\omega + \omega^{-1}}{2}}{\frac{\omega - \omega^{-1}}{2 \operatorname{i}}} \end{align}$ $\begin{align} = 2 \cdot \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2n} \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{2n} \right)} = 2 \cot \left( \frac{\pi}{2n} \right) \end{align}$
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25.10.2018, 17:04	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, danke für die weiteren Ansätze. Ich konnte die Formel von Huggy herleiten und habe dann auch das Ergebnis erhalten. Vielen Dank nochmals für euere Hilfe

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