Lineares Gleichungssystem

04.09.2004, 19:30

SOA

Lineares Gleichungssystem

Für welchen Wert von a hat das folgende lineare Gleichungssystem
nichttriviale Lösungen? Wie lauten diese?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1 & a \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist meine Aufgabe. Die Unbekannte tritt nun gleich in 2 Gleichungen auf. Wenn ich eine Spalte vertausche, negiert sich das System. Bedeutet das, dass das System bei einem weiteren Spaltentausch wieder positiv wird???

Vertausche 1. und 2. Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & a \\ a & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tausche nun die 1. Spalte mit der 2. und anschließend die 3. Spalte
mit der 2. Spalte (ehemals 1. Spalte) . 2 x getauscht. Das System sollte
nun wieder positiv sein.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & a & -2 \\ 1 & -2 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun multipliziere ich die 2. und 3. Zeile mit 2 und addiere sie mit der 1.:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2a + 1 & -3 \\ 0& -3 & 2a +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Leider schaffe ich es nicht wirklich das System in eine Dreiecksform zu wandeln... :P
Über einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar....

Gruß
SOA

04.09.2004, 22:10

Mazze

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Du musst bei dem vertauschen von Zeilen/Spalten unbedingt darauf achten, ob Du eine Determinante berechnen willst oder ob Du Lösungen berechnen willst.

Determinante

Das vertauschen von Zeilen/Spalten ändert das Vorzeichen der Determinante. Wenn Du also eine Zeile mehrmals änderst musst Du auch mehrmals das Vorzeichen ändern.

Lösung

Das vertauschen von Zeilen/Spalten ändert die Lösungsmenge nicht.

Offensichtlich versuchst Du den Weg über die Determinante. Ist die Determinante = 0 so besitzt das homogene Gleichungssystem min. eine nichttriviale Lösung!

Ich vertausche auch erste und zweite Zeile

$\begin{eqnarray*} -1*\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & a \\ a & 1 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} -1*\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & a+2 \\ 0 & 1 + 2a & -2 -a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} -1*\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & a+2 \\ 0 & 1 + 2a & -2 -a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ich subtrahiere das $\begin{eqnarray*} \frac{1+2a}{-3} \end{eqnarray*}$ -fache der

zweiten Zeile von der Dritten

=

$\begin{eqnarray*} -1*\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & a+2 \\ 0 & 0 & \frac{-2a^2 - 8a - 8}{3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Rest schaffst Du sicher!

04.09.2004, 22:39

SirJ

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SOA, was meinst du mit "Wenn ich eine Spalte vertausche, negiert sich das System."?
Wenn du eine Determinante bestimmen willst, solltest du das dazuschreiben.

Wie Mazze schreibt, kannst du die erste Teilaufgabe lösen, indem du bestimmst, für welche a die Determinante gleich 0 ist. Dazu musst du sie aber nicht auf Dreiecksgestalt bringen, du kannst sie auch anders berechnen (z.B. mit der Regel von Sarrus oder durch Entwicklung).

Um dann die nichttrivialen Lösungen zu bestimmen, musst du für die gefundenen Werte von a das Gleichungssystem lösen. Weißt du, wie das geht?

Gruss,
SirJ

PS: Mazze, du solltest dir endlich abgewöhnen, "<=>" zu schreiben, wo ein "=" hingehört.

05.09.2004, 11:50

SOA

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Hallo,

erst einmal vielen Dank.

Das sich beim Nullsetzen der Determinante auch das Vorzeichen bei der
Zeilenvertauschung ändert wußte ich nicht. Das bedeutet doch, dass sich pro Aktion (Zeilen -oder Spaltenvertauschung) das Vorzeichen des Gleichungssystems ändert, oder???

SirJ, Wie ich die Determinante ausrechne weiß ich schon. Das Ergebnis setze ich dann in die Dreiecksform des Gleichungssystems. Die Ergebnisse setze ich dann einem Parameter t gleich....Stimmt das so in etwa??

Mit LaPlace möchte ich eigentlich nicht arbeiten. Mir reicht es schon, wenn ich eine Lösung mit Gauß kenne smile

Sarrus ist ja eigentlich schön einfach....Das werde ich mal probieren.
Könntest du mir vielleicht bitte einmal eine Musterlösung für einen beliebigen Parameter t einstellen??

Das wäre echt Klasse...

Gruß
SOA

05.09.2004, 12:35

SOA

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Also mit Sarrus komme ich ziemlich schnell auf das Ergebnis -2 und 1.
Das ist ja schon einmal Klasse. Bei der weiteren Berechnung hänge ich allerdings ein wenig.....

05.09.2004, 13:23

SirJective

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Hallo SOA,

Zitat:

Original von SOA
Das sich beim Nullsetzen der Determinante auch das Vorzeichen bei der
Zeilenvertauschung ändert wußte ich nicht. Das bedeutet doch, dass sich pro Aktion (Zeilen -oder Spaltenvertauschung) das Vorzeichen des Gleichungssystems ändert, oder???

Was meinst du mit "Vorzeichen des Gleichungssystems"?
Dass die Determinante beim Zeilentausch das Vorzeichen wechselt ist eine grundlegende Eigenschaft der Determinante. Wenn es dir nur darum geht, zu bestimmen ob sie gleich 0 oder ungleich 0 ist, kannst du das vernachlässigen, aber nicht, wenn du die Determinante ausrechnen willst.

Zitat:

SirJ, Wie ich die Determinante ausrechne weiß ich schon. Das Ergebnis setze ich dann in die Dreiecksform des Gleichungssystems. Die Ergebnisse setze ich dann einem Parameter t gleich....Stimmt das so in etwa??

Was ist denn die Determinante dieser Koeffizientenmatrix?
Woher nimmst du die Dreiecksform des Gleichungssystems?
Ich verstehe leider nicht, was du sagen willst.

Zitat:

Mit LaPlace möchte ich eigentlich nicht arbeiten. Mir reicht es schon, wenn ich eine Lösung mit Gauß kenne smile

Wie du die Determinante bestimmst, bleibt natürlich dir überlassen smile

Zitat:

Sarrus ist ja eigentlich schön einfach....Das werde ich mal probieren.

Die Regel von Sarrus halte ich bei 3x3-Matrizen ohne besondere Eigenschaften (z.B. viele Nullen oder fast gleiche Zeilen/Spalten) für die einfachste Methode.

Zitat:

Könntest du mir vielleicht bitte einmal eine Musterlösung für einen beliebigen Parameter t einstellen??

Was meinst du? Lösung wofür?

Zitat:

Also mit Sarrus komme ich ziemlich schnell auf das Ergebnis -2 und 1.

Was ist "das Ergebnis"? Aha: Du hast hier die Werte für a genannt, für die die Determinante 0 wird. Das ist richtig.

Zitat:

Das ist ja schon einmal Klasse. Bei der weiteren Berechnung hänge ich allerdings ein wenig.....

Nun wählst du erstmal einen der beiden Werte für a, setzt ihn in das Gleichungssytem ein, und löst dann dieses System (das nur noch Zahlen enthält).

Dann machst du dasselbe mit dem anderen Wert für a.

Gruss,
SirJective

05.09.2004, 15:53

SOA

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Hallo....so in Etwa???

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2\\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auflösen ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2\\ 0 & -3 & 0\\ -0 & 0 & -0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt z= 0 => z= t ; t ist Element von R

y = 0;

x = -t
------------------------------
Wenn ich also für t einen beliebigen Wert 1 einsetze, ergibt sich
folgendes:

t = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt???

verwirrt

Großer Dank im voraus....Wären wichtige Punkte für die bevorstehende Klausur...

SOA

05.09.2004, 17:00

SirJ

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Hallo SOA, das sieht schon sehr gut aus.

Hier ist die rechte Seite 0, du solltest dir aber angewöhnen, die rechte Seite immer mitzuschreiben, also z.B. in Form der erweiterten Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 & | & 0\\ 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -2 & 1 & -2 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hast du weniger Probleme, wenn die rechte Seite nicht 0 ist.

Zitat:

Original von SOA
auflösen ergibt:
[...]
ergibt z= 0 => z= t ; t ist Element von R

Das ist inhaltlich richtig, aber falsch aufgeschrieben. Die letzte Zeile dieser Matrix sagt dir, dass dein Gleichungssystem nach der Umformung folgende Zeile enthält:
0*x + 0*y + 0*z = 0
Daraus ergibt sich, dass du z = t beliebig wählen kannst.

Zitat:

y = 0;

Richtig, die zweite Gleichung
0*x -3*y + 0*z = 0
erzwingt y = 0.

Zitat:

x = -t

Richtig.

Zitat:

------------------------------
Wenn ich also für t einen beliebigen Wert 1 einsetze, ergibt sich
folgendes:

t = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für t=1 ergibt sich dieser Wert, dann ist aber nicht t gleich diesem Vektor.
Was sind die anderen Lösungen dieses Gleichungssystems (dieser Vektor ist ja nur eine)?

Zitat:

Ist das korrekt???

verwirrt

Großer Dank im voraus....Wären wichtige Punkte für die bevorstehende Klausur...

Inhaltlich ist das richtig, nur müsstest du es noch formal richtig aufschreiben.

Gruss,
SirJ

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