Mengenlehre und mathematische Syntax

26.10.2018, 20:56

vvfvvfvvf

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Mengenlehre und mathematische Syntax

Hallo,

ich prügel mich (erneut) mit mathematischer Syntax (Prädikatenlogik?) rum. Es geht an erster Stelle darum, dass ich einfach nicht genau weiß, wie ich etwas zu verstehen habe.
Zu Mengenlehre an sich hab ich mir schon im Netz angeguckt, jedoch stoß ich mir den Kopf an der Syntax.

Problem 1:

Wir haben eine Menge M:

$\begin{eqnarray*} M := \{(a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}) | (a_{0}, a_{1}) \in A (b_{0}, b_{1}, b_{2})\in B\} \end{eqnarray*}$

Erstens: Ist $\begin{eqnarray*} \{(a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}, b_{2})\} \end{eqnarray*}$ ein 5-Tupel?

Und:Heißt das, dass die Mengen A und B wie folgt zu definieren sind:

$\begin{eqnarray*} A = \{(a_{0}, a_{1})\} <br /> <br /> B = \{(b_{0}, b_{1}, b_{2})\}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Dass dann quasi A und B jeweils ein Element (A hat ein Tupel, B hat ein Tripel) haben?

Problem 2:

Erneut eine Menge M:

$\begin{eqnarray*} M := \{(a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}) | (a_{0}, a_{1}) \in A (b_{0}, b_{1}, b_{2})\in B \wedge a_{0} = b_{0}\} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautet: "Bestimmen Sie die Elemente der Menge M". Liegt hier aber nicht ein 5 Tupel als einziges Element vor? Bisschen blöd, das hier zu Fragen, da die Aufgabenstellung von sonst wo kommt - würde man dann lediglich die Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ auflisten? Wenn ja, wüsst ich, wie's geht. (Hängt auch mit der Frage, ob es sich hier um ein 5-Tupel handelt aus Problem 1 zusammen)

Problem 3:

Hier geht's ums reine Verstehen der Syntax:

$\begin{eqnarray*} M := \{(a_{0}, b_{1}) | \exists a_{1} \exists b_{0} \exists b_{2} (a_{0}, a_{1}) \in A (b_{0}, b_{1}, b_{2})\in B \wedge a_{0} = b_{1}\} \end{eqnarray*}$

Wie habe ich $\begin{eqnarray*} \exists a_{1} \exists b_{0} \exists b_{2} (a_{0}, a_{1}) \end{eqnarray*}$

zu verstehen? Alles was ich weiß ist, dass es sich hier um einen Existenzquantor handelt, aber interpretiert krieg ich das wirklich nicht.

26.10.2018, 21:38

Elvis

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1. A und B sind Mengen mit beliebig vielen Paaren und Tripeln. Alle diese werden in M zu Quintupeln zusammengestellt.
2. Wieder viele Quintupel, nur mit einer einschränkenden Zusatzbedingung.

26.10.2018, 21:43

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
1. A und B sind Mengen mit beliebig vielen Paaren und Tripeln. Alle diese werden in M zu Quintupeln zusammengestellt.

Das bedeutet, dass A 2 Elemente {a0,a1} und B 3 Elemente {b0,b1,b2} haben, richtig? Und M besteht aus einem Element, nämlich dem 5-Tupel, richtig?

26.10.2018, 21:45

Elvis

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Nein. Eine Menge hat viele Elemente. A hat viele Paare.

26.10.2018, 21:48

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Nein. Eine Menge hat viele Elemente. A hat viele Paare.

Hat das zu bedeuten, dass A unter anderem weiter Tupel wie zb (a2,a3) etc. haben kann?

Liege ich wenigstgens damit richtig, dass M nur ein element, nämlich das besagte Quintupel hat? Wie kommt das Quintupel eigentlich zu stande?

26.10.2018, 21:57

Elvis

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Für A gleich R ^2 enthält A alle Paare reeller Zahlen, und die 5-Tupel von M fangen mit diesen Paaren an und werden mit allen Tripeln aus B fortgesetzt.

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26.10.2018, 22:03

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Für A gleich R ^2 enthält A alle Paare reeller Zahlen, und die 5-Tupel von M fangen mit diesen Paaren an und werden mit allen Tripeln aus B fortgesetzt.

Tut mir leid, da komm ich nicht ganz mit. Kannst du das genauer erklären (wenns geht in Einfach, ich wäre sehr dankbar)?

Heisst das, dass M auch quintupel wie z.b (a2,a3,b3,b4,b5) enthalten kann?
Ausserdem, was meinst du mir R^2?

26.10.2018, 22:08

Elvis

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Ich habe hier keine anständige Tastatur, deswegen ist R^2 die euklidische Ebene und enthält Paare reeller Zahlen. In den Paaren von A und Tripeln von B stehen Variablen und nicht Kombinationen aus Buchstaben und Zahlen.

26.10.2018, 22:11

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Ich habe hier keine anständige Tastatur, deswegen ist R^2 die euklidische Ebene und enthält Paare reeller Zahlen. In den Paaren von A und Tripeln von B stehen Variablen und nicht Kombinationen aus Buchstaben und Zahlen.

Angenommen, wir bilden das Karthesische Produkt von A X B, dann haben Wir Tupel, die aus einem Tupel und einem Tripel (wie zum beispiel A x B := [(a0,a1),(b0,b1,b2)] bestehen wohingegen M aus einem Quintupel besteht, welches aus Elementen aus A und B (a0,a1,b0,b1,b2) besteht, richtig?

(Anmerkung: denk dir bei a0 einfach eine heruntergestellte 0, also sowas wie $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ , ich meine keine kombination von buchstaben und zahlen, tut mir leid für den fehler, ich finds so nur einfacher zu schreiben)

26.10.2018, 22:17

Elvis

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Elemente aus A sind Paare, Elemente aus B sind Tripel. M ist nicht das cartesische Produkt AxB, das stimmt. Ein Quintupel besteht aber auch nicht aus Elementen aus A und B, sondern aus Elementen aus Paaren aus A und Elementen aus Tripeln aus B. M hat aber genau so viele Elemente wie AxB.

26.10.2018, 22:26

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Elemente aus A sind Paare, Elemente aus B sind Tripel. M ist nicht das cartesische Produkt AxB, das stimmt. Ein Quintupel besteht aber auch nicht aus Elementen aus A und B, sondern aus Elementen aus Paaren aus A und Elementen aus Tripeln aus B. M hat aber genau so viele Elemente wie AxB.

Okay, angenommen wir haben paare (a4,a5) und (a6,a7) und tripel (b3,b4,b5) aus B.

Was du meinst ist, dass dann eine Kombination wie (a0,a4,b0,b2,b5) möglich wäre, richtig?
Falls dem so ist, wie erkenne ich das, wenn ich das nächste mal eine Aufgabe bearbeiten muss?

26.10.2018, 22:38

Elvis

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So habe ich das nicht gesagt. M ist fast dasselbe wie AxB, nur zwischen dem Paar und dem Tripel entfällt jeweils die Zeichenfolge ) , (

26.10.2018, 22:44

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
So habe ich das nicht gesagt. M ist fast dasselbe wie AxB, nur zwischen dem Paar und dem Tripel entfällt jeweils die Zeichenfolge ) , (

Okay, ich denke ich habe zumindest verstanden, was der Unterschied zwischen den Beiden ist. Es war mir allerdings noch nicht klar, wie die Quintupel aus den vorhandenen Informationen (Mengen A und B) zustande kommen. Darf man einfach davon ausgehen?

26.10.2018, 22:46

Elvis

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Ja, genau so ist es definiert.

26.10.2018, 22:48

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Ja, genau so ist es definiert.

Gibt es dann einen weg, die Elemente von M zu bestimmen?

26.10.2018, 22:49

Elvis

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Wenn A und B bekannt sind, kennt man M.

26.10.2018, 22:59

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Wenn A und B bekannt sind, kennt man M.

Noch eine Frage hätte ich dann: Was ist dann genau der unterschied zu der Menge aus Problem 2?

$\begin{eqnarray*} M := \{(a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}) | (a_{0}, a_{1}) \in A (b_{0}, b_{1}, b_{2})\in B<br /> \wedge a_{0} = b_{0}\} \end{eqnarray*}$

Warum enthält das Quintupel hier (Problem 2) sowohl a0 als auch b0, wenn diese das gleiche sind, und worin besteht der unterschied?

26.10.2018, 23:01

Elvis

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Bei der 2. Menge werden genau die Tupel und Tripel kombiniert, die an der ersten Stelle überein stimmen. Das ist eine zusätzliche Eigenschaft, also das 2. M eine Teilmenge des 1. M.

26.10.2018, 23:04

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Bei der 2. Menge werden genau die Tupel und Tripel kombiniert, die an der ersten Stelle überein stimmen.

Das bedeutet, die Tupel (d.h deren konstellationen) aus A und Tripel aus B werden nun zur Konstruktion der Quintupeln für M herangezogen, sehe ich das richtig?

Edit: *Statt der einzelnen Elemente aus den Tupeln aus A und Tripeln aus B

26.10.2018, 23:07

Elvis

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Ja, das ist wieder so, aber eben nicht alle.

26.10.2018, 23:09

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Ja, das ist wieder so, aber eben nicht alle.

Wie meinst du das?

27.10.2018, 08:31

Elvis

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Guten Morgen. Ich meine das genau so wie ich es oben geschrieben habe. Die erste Menge M besteht aus allen Tupeln, die aus allen Tupeln aus A und B kombiniert werden. Die zweite Menge M besteht aus allen Tupeln, die aus allen Tupeln aus A und B kombiniert werden, die an der ersten Stelle überein stimmen. Diese zusätzliche Bedingung bewirkt, dass die zweite Menge M ein Teil der ersten Menge M ist und das nennt man Teilmenge.
(Es ist übrigens ein klein bisschen ungeschickt, zwei verschiedenen Mengen denselben Namen zu geben. Das widerspricht der üblichen Konvention M=M.)

27.10.2018, 12:30

vvfvvfvvf

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Zitat:

Original von Elvis
Guten Morgen. Ich meine das genau so wie ich es oben geschrieben habe. Die erste Menge M besteht aus allen Tupeln, die aus allen Tupeln aus A und B kombiniert werden. Die zweite Menge M besteht aus allen Tupeln, die aus allen Tupeln aus A und B kombiniert werden, die an der ersten Stelle überein stimmen. Diese zusätzliche Bedingung bewirkt, dass die zweite Menge M ein Teil der ersten Menge M ist und das nennt man Teilmenge.
(Es ist übrigens ein klein bisschen ungeschickt, zwei verschiedenen Mengen denselben Namen zu geben. Das widerspricht der üblichen Konvention M=M.)

Zum 2. Problem:
D.h also, wenn a0 und b0 denselben Wert haben, werden diese im quintupel kombiniert?
An dieser Stelle eine ganz banale Frage: Sind (a0, a1) aus A repräsentativ für alle Tupel aus A?

27.10.2018, 13:04

Elvis

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Ja, $\begin{eqnarray*} a_0\in A_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1\in A_1 \end{eqnarray*}$ sind Variable für die Mengen, deren cartesisches Produkt $\begin{eqnarray*} A=A_0\times A_1 \end{eqnarray*}$ ist.

27.10.2018, 14:57

vvfvvfvvf

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Ich danke dir vielmals, darauf wäre ich so nicht gekommen.

27.10.2018, 17:41

Elvis

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Gern geschehen. Mathematik muss man nicht selbst neu erfinden. Es gibt Bücher, Vorlesungen und Skripte und das Internet mit Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre). Lesen hilft. smile

smile

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