Beweis Gleichung

28.10.2018, 14:26

Sabine400

Beweis Gleichung

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu machen:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n k_i y_i = b \ mod \ 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_i, k_i \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen.

Sei nun $\begin{eqnarray*} g_i \equiv k_i \ mod \ 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq g_i <1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} g_0 \equiv b \ mod \ 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq g_0 <1 \end{eqnarray*}$

z.z.;
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n g_i y_i = g_0 \ mod \ 1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das aus den Rechenregeln für mod herleiten?

28.10.2018, 14:31

Sabine400

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RE: Beweis Gleichung
Ich meine $\begin{eqnarray*} y_i \geq 0 \end{eqnarray*}$ und reell nicht $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$

28.10.2018, 15:04

HAL 9000

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Ok, die Symbolik $\begin{eqnarray*} u\equiv v\bmod 1 \end{eqnarray*}$ für reelle $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ soll offenbar $\begin{eqnarray*} (u-v)\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bedeuten.

Die Behauptung kann man dann aber allenfalls dann beweisen, wenn die $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ als ganzzahlig vorausgesetzt werden!

28.10.2018, 15:09

Sabine400

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, die Symbolik $\begin{eqnarray*} u\equiv v\bmod 1 \end{eqnarray*}$ für reelle $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ soll offenbar $\begin{eqnarray*} (u-v)\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bedeuten.

Die Behauptung kann man dann aber allenfalls dann beweisen, wenn die $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ als ganzzahlig vorausgesetzt werden!

Ja alles richtig. Ich habe die Voraussetzung vergessen. Wie würde das gehen?

28.10.2018, 15:15

HAL 9000

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Schlicht einsetzen: Der Voraussetzungen wegen existieren ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} m_0,m_1,\ldots,m_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_i = g_i+m_i \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b = g_0+m_0 \end{eqnarray*}$ , es folgt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n k_iy_i - b = \sum_{i=1}^n (g_i+m_i)y_i - (g_0+m_0) = \sum_{i=1}^n g_iy_i - g_0 + \left( \sum_{i=1}^n m_iy_i - m_0 \right) \end{eqnarray*}$ .

Da nun aber $\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^n m_iy_i - m_0 \right) \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl ist, folgt die Behauptung.

28.10.2018, 15:27

Sabine400

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[quote]Original von HAL 9000
Schlicht einsetzen: Der Voraussetzungen wegen existieren ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} m_0,m_1,\ldots,m_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_i = g_i+m_i \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b = g_0+m_0 \end{eqnarray*}$ , es folgt

Also egtl gilt doch $\begin{eqnarray*} g_i-k_i = 1 \cdot m_i \end{eqnarray*}$ , d.h $\begin{eqnarray*} k_i = g_i - m_i \end{eqnarray*}$
Du verwendest dann einfach $\begin{eqnarray*} -m_i \end{eqnarray*}$ . Das ändert ja nichts, da -1 eine Einheit ist.
Oder sehe ich das falsch?

Wie folgt aus dem letzten Schritt die Behauptung?

28.10.2018, 15:29

HAL 9000

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Zitat:

Auf $\begin{eqnarray*} u = \sum_{i=1}^n g_iy_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = g_0 \end{eqnarray*}$ anwenden.

28.10.2018, 15:32

Sabine400

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Aso, aber was passiert dann mit $\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^n m_iy_i - m_0 \right) \end{eqnarray*}$
Wie kommt das "weg"?

28.10.2018, 16:52

Sabine400

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Kannst du mir sagen, warum das so ist, biite verwirrt

29.10.2018, 19:51

Sabine400

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RE: Beweis Gleichung
Hallo,
ich habe es jetzt verstanden:
Wie kann ich jetzt noch folgende Gleichung herleiten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n g_i y_i \geq g_0 \end{eqnarray*}$

Wie sieht man das?

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