Rotation Kreuzprodukt

28.10.2018, 15:43

MasterWizz

Rotation Kreuzprodukt

Hey Leute

Wisst ihr, wie sich folgende Aussage beweisen lässt?

$\begin{eqnarray*} \mathrm{rot}(\vec{f}\times \vec{g}) = \vec{f}\cdot\mathrm{div}\vec{g} -\vec{g}\cdot\mathrm{div}\vec{f} + (\vec{g}^\top\!\cdot\vec{\nabla}) \vec{f}-(\vec{f}^\top\!\cdot\vec{\nabla})\vec{g} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
Mit der Graßmann-Identität $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}^\top\!\cdot\vec{c})\,\vec{b}-(\vec{a}^\top\!\cdot\vec{b})\,\vec{c} \end{eqnarray*}$ ergeben sich meiner Meinung nach nur die ersten beiden Summanden. Außerdem wundere ich mich, weil doch der dritte Summand identisch mit dem ersten und der vierte identisch mit dem zweiten sein sollte. Wegen der Definition der Divergenz $\begin{eqnarray*} \mathrm{div}(\vec{f}) = \vec{\nabla}^\top\!\cdot\vec{f} \end{eqnarray*}$ .

Könnt ihr mir bitte weiter helfen? smile

29.10.2018, 11:41

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beweis rechne den Term per Hand aus

$\begin{eqnarray*} rot \begin{pmatrix} f_2g_3-f_3g_2 \\ f_3g_1-f_1g_3 \\ f_1g_2-f_2g_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{\partial}{\partial x_2}(f_1g_2-f_2g_1)-\tfrac{\partial}{\partial x_3}(f_3g_1-f_1g_3)\\ \tfrac{\partial}{\partial x_3}(f_2g_3-f_3g_2)-\tfrac{\partial}{\partial x_1}(f_1g_2-f_2g_1) \\ \tfrac{\partial}{\partial x_1}(f_3g_1-f_1g_3)-\tfrac{\partial}{\partial x_2}(f_2g_3-f_3g_2) \end{pmatrix}= usw. \end{eqnarray*}$

Du behauptest, dass in der Formel, die bewiesen werden soll, der 1.Summand identisch sei mit dem 3. und der 2.Summand identisch mit dem 4. Das stimmt nicht!

Der 1.Summand lautet: $\begin{eqnarray*} \vec f\cdot div(g)=\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} \cdot div(\vec g) \end{eqnarray*}$

Der 3.Summand lautet in Matrixschreibweise: $\begin{eqnarray*} (\vec g^T\cdot \nabla )\vec f=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial f_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial f_1}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \tfrac{\partial f_2}{\partial x_2} & \tfrac{\partial f_2}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial f_3}{\partial x_1} & \tfrac{\partial f_3}{\partial x_2} & \tfrac{\partial f_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Schreibweis $\begin{eqnarray*} (\vec g^T\cdot \nabla )\vec f \end{eqnarray*}$ , die in der Vektoranalysis oft verwendet wird, halte ich für etwas unglücklich, weil sie zu Missverstndnissen führen kann (wie in deinem Fall).

29.10.2018, 13:28

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

OK ich verstehe. Das ist ja frech, wer hat sich das denn ausgedacht! Dann ist die Klammer einfach verwirrend. Trotzdem verstehe ich noch nicht, was falsch daran ist die Graßmann Identität zu benutzten.

Wegen $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}^\top\!\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}^\top\!\cdot\vec{b})\vec{c} \end{eqnarray*}$ , hätte ich gedacht:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{rot}(\vec{f}\times\vec{g})=\vec{\nabla}\times(\vec{f}\times\vec{g})= (\vec{\nabla}^\top\!\cdot\vec{g})\vec{f}-(\vec{\nabla}^\top\!\cdot\vec{f})\vec{g} = \mathrm{div}(\vec{g})\cdot\vec{f} - \mathrm{div}(\vec{f})\cdot\vec{g} \end{eqnarray*}$

Wo ist hier der Denkfehler?

30.10.2018, 09:39

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MasterWizz
Trotzdem verstehe ich noch nicht, was falsch daran ist die Graßmann Identität zu benutzten.

Daran ist nichts falsch. Nur hast du etwas Wichtiges übersehen. Man kann zwar mit dem Nabla-Operator weitgehend wie mit einem Vektor hantieren, was sehr hilfreich ist. Er ist aber kein Vektor, sondern ein Differentialoperator. Daher sind beim Umgang mit ihm nicht nur die Regeln der Vektoralgebra zu beachten, sondern auch die Ableitungsregeln. In dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \vec \nabla\times(\vec f \times \vec g) \end{eqnarray*}$ wirkt der Nabla-Operator auf eine Produkt. Daher ist die Produktregel für Ableitungen zu beachten. In meiner privaten Symbolik notiere ich mir das so:

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla\times(\vec f \times \vec g) = \vec \nabla_f \times(\vec f \times \vec g)+\vec \nabla_g \times(\vec f \times \vec g) \end{eqnarray*}$

Dabei sollen $\begin{eqnarray*} \vec \nabla_f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec \nabla_g \end{eqnarray*}$ Nabla-Operatoren sein, die nur auf die Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ wirken. Nachdem man so die Produktregel angewandt hat, kann man jetzt auf der rechten Seite für beide Summanden die Graßmann-Identität benutzen. Dabei entstehen auch Terme wie $\begin{eqnarray*} (\vec \nabla_f \cdot \vec g)\vec f \end{eqnarray*}$ , bei denen der Operator nicht direkt vor dem Feld steht, auf dessen Komponenten er wirken soll. Da vertauscht man im Skalarprodukt die Reihenfolge.

$\begin{eqnarray*} (\vec \nabla_f \cdot \vec g)\vec f=(\vec g \cdot \vec \nabla_f)\vec f \end{eqnarray*}$

Hat man das gemacht, stehen die Nabla-Operatoren überall direkt vor dem Feld, auf das sie wirken sollen. Man kann deshalb ihre Indizes wieder weglassen und hat dann die bekannte Umformung von $\begin{eqnarray*} \vec \nabla\times(\vec f \times \vec g) \end{eqnarray*}$ erreicht.

30.10.2018, 11:55

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

Super Antwort, vielen Dank Huggy! smile

Ich werde mir mal die Ableitungsregeln in der Vektoranalysis genauer anschauen.

Neue Frage »

Antworten »

Rotation Kreuzprodukt

Verwandte Themen