Hilbertraum Lemma

29.10.2018, 13:52	Sirob	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilbertraum Lemma Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} {n}) _{n \ge 1} \end{eqnarray}$ eine abnehmende Folge geschlossener Teilräume vom Hilbert-Raum $\begin{eqnarray} H_{0} \end{eqnarray}$ und setze $\begin{eqnarray} H_{\infty} = \bigcap_{n\ge1} H_{n}<br /> \forall n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} P_{n} : H_{0} \to H_{n} \end{eqnarray}$ bezeichnete orthogonale Projektion auf $\begin{eqnarray} H_{n} \end{eqnarray}$ . Dann : $\begin{eqnarray} \forall h \in H_{0} : lim_{n\to\infty} P_{n}h = P_{\infty}h. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Beweis: Sei $\begin{eqnarray} H^{\prime}_{n} := H_{n} \ominus H_{n+1} \end{eqnarray}$ das orthogonale Komplement von $\begin{eqnarray} H_{n+1} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} H_{n} \end{eqnarray}$ . Durch Iteration folgt das $\begin{eqnarray} H_{m} = \bigoplus\limits_{k=m}^nH_{m} \oplus H_{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \leq n \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} P^{\prime}_{n} \end{eqnarray}$ die orthogonale Projektion von $\begin{eqnarray} H_{0} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} H^{\prime}_{n} \end{eqnarray}$ . Fixiere $\begin{eqnarray} h \in H_{0} \end{eqnarray}$ . Da die Projektionen $\begin{eqnarray} P^{\prime}_{n} \end{eqnarray}$ paarweise orthogonal sind, folgt das $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty\Vert P^{\prime}_{k}h\Vert^2 \leq \Vert h\Vert^2 \end{eqnarray}$ , also insbesondere konvergiert die Reihe und folglich $\begin{eqnarray} \Vert P_{m}h - P_{n}h\Vert^2 = \Vert\sum_{k=m}^n<br /> P^{\prime}_{k}h\Vert^2 = \sum_{k=m}^n\Vert P^{\prime}_{k}h\Vert^2 \to 0. \end{eqnarray}$ Nach Cauchys Kriterium haben wir $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty}P_{k}h \to y \end{eqnarray}$ fuer einige $\begin{eqnarray} y \in H_{0} \end{eqnarray}$ . Von der Eindämmung der Räume haben wir $\begin{eqnarray} P_{n}P_{m} = P_{m}P_{n} = P_{max(m,n)} \end{eqnarray}$ .Also $\begin{eqnarray} y = lim_{n \to \infty}P_{n}h = lim_{n \to \infty}P_{m}P_{n}h \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} y \in H_{m} \forall m \end{eqnarray}$ , und damit $\begin{eqnarray} y \in H_{\infty} \end{eqnarray}$ . Eine ähnliche Überlegung ergibt dann, dass $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty}P_{n}h = y = P_{\infty}y = lim_{n \to \infty}P_{\infty}P_{n}h = lim_{n \to \infty}P_{\infty}h = P_{\infty}h \end{eqnarray}$ , und wir sind fertig. LaTeX so gut wie möglich korrigiert. Steffen
29.10.2018, 14:43	Sirob	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein elementarer Hilbertraum Lemma. $\begin{eqnarray} H_{n} \end{eqnarray}$ für n größer gleich 1 ist die fallende Folge geschl. Teilräume von $\begin{eqnarray} H_{0} \end{eqnarray}$ . Ist der Beweis nachvollziehbar?

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