Beweis mit Epsilon-Umgebung

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MatheFrust123 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Epsilon-Umgebung
Meine Frage:
Hallo, ich bin bei meinen Mathe Aufgabe an einen Punkt gestoßen, an dem ihc nicht mehr weiter weiß. Ich habe die Beweise mit der Epsilon Umgebung nicht zu 100% verstanden und bekomme folgende Aufgabe nicht hin:
Ist (an)n?N konvergent mit Limes a, so ist(|an|)n?N konvergent mit Limes |a|. Gilt hierauch die Umkehrung?
Als Hinweis ist gegeben: Fallunterscheidung.

Meine Ideen:
Ich habe zu einer forherigen Aufgabe:
(an)n?N ist Nullfolge genau dann, wenn (|an|)n?N Nullfolge ist.

folgendes Ergebniss:|an - a| = ||an| - |a|| | a = 0
=> |an| = ||an||
=>epsilonbedingung... -> |an - 0| < epsilon
=>epsilonbedingung... -> ||an| - 0| < epsilon

Das kann man in der Aufgabe die ich zu lösen versuche in eine der Fallunterscheidungen (a=0) ja direkt kopieren.

für die Fallunterscheidung a > 0 habe ich geschrieben:
|an - a| = ||an| - |a|| | a = |a| da a > 0
=> |an - a| = ||an| - a|
=>da forrausgesetzt ist, dass |an| gegen |a| und damit auch gegen a konvergiert, und an gegen a konvergiert konvergieren sie beide zu a da |a| = a ist wenn a > 0.

Zu dem letzten Fall (a<0) weiß ich nicht was ich machen soll.
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