Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?

29.10.2018, 16:41

Knightfire66

Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?

Meine Frage:
Hallo,
hier ist die Aufgabe;
[attach]48231[/attach]
habe soweit das hier?
[attach]48232[/attach]
ist das richtig und wie geht es weiter? Wurzelkriterium liefert r=1/0... kann ja nicht sein?
mfg

Meine Ideen:
...

30.10.2018, 08:51

klarsoweit

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
Was du da machst, ist völliger Unfug. Erst mal kannst du nicht das Summenzeichen durch ein Grenzwertzeichen ersetzen. Und zweitens ist es mir schleierhaft, wie du von $\begin{eqnarray*} (3x-2)^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3}(x - \frac 2 3)^n \end{eqnarray*}$ kommst. verwirrt

30.10.2018, 14:48

Knightfire66

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
stimmt an dieser stelle gehört noch das Summenzeichen hin... ich sollte das erst später hinschreiben, wenn ich Das Wurzelkriterium anwende...

ok ich dachte, dass ich das so machen kann... einfach aus der wurzel rausmachen und dabei n-te wurzel ziehen... und alle anderen summanden in der wurzel anpassen...

wie soll ich das denn machen? soll ich direkt das Wurzelkriterium anwenden?

mit freundlichen Grüßen

30.10.2018, 14:54

HAL 9000

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Was auch immer deine Intentionen sind, der von klarsoweit angemahnte Term macht nun mal überhaupt keinen Sinn: Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} (3x-2)^n = \left(3\left(x-\frac{2}{3}\right)\right)^n = 3^n \left(x-\frac{2}{3}\right)^n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3} \left(x-\frac{2}{3}\right)^n \end{eqnarray*}$ . unglücklich

30.10.2018, 15:07

klarsoweit

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?

Zitat:

Original von Knightfire66
wie soll ich das denn machen? soll ich direkt das Wurzelkriterium anwenden?

Das wäre zumindest ein vernünftiger Ansatz. smile

30.10.2018, 15:32

Knightfire66

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
ah ok WK erst...

ich habe das mit 1/n verwechselt... klar macht das keinen Sinn smile

ist ja nur ^n und nicht n.te wurzel... sry Big Laugh

bei ^1/n wäre meine umformung logisch...

ich schreibe gleich mein ergebnis rein...

30.10.2018, 15:55

Knightfire66

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
Mit dem Wurzelkriterium komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \sqrt[n]{\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+3} } } \end{eqnarray*}$
und n gegen unendlich ist das doch 0?

also ist mein radius = 1/0... kann doch nicht sein oder?
mfg

30.10.2018, 16:06

klarsoweit

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?

Zitat:

Original von Knightfire66
und n gegen unendlich ist das doch 0?

Da solltest du nochmal drüber nachdenken. Außerdem hast du im Zähler ein (3x-2)^n. Das solltest du nicht ignorieren.

30.10.2018, 16:28

Knightfire66

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
ich dachte das kann man rauslassen? also Wurzelkriterium tut man nur mit a_n und (x-x_0)^n wird rausgelassen... das lest man x_0 ab und das wäre dann mein entwicklungspunkt oderso... und damit und dem konvergenzradius kann man eben das konvergenzintervall rausfinden...

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \sqrt[n]{\frac{(x-2)^n}{(n+1)\sqrt{n+3} } } \end{eqnarray*}$

kann es sein, dass ich die (3x-2) in der wurzel lassen muss... und da wäre meine bedingung, dass x-2/3 >= (n+1)sqrt(n+3) sein muss?
mfg

30.10.2018, 17:22

HAL 9000

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Das riecht hier ein wenig nach der Vermengung der Konvergenzkriterien bzw. -formeln für allgemeine Reihen mit denen von Potenzreihen. Ein leider sehr häufig vorkommendes Missverständnis.

Da muss man einfach klar mit den Begrifflichkeiten umgehen, jedes Wischi-Waschi-Hinundherwechseln führt da nur ins Chaos.

30.10.2018, 18:21

Knightfire66

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Chauchy Hadamard ist doch 1/|Quotientenkriterium| oder Wurzelkriterium... das liefert dann direkt das ergebnis für den konvergenzradius... ist mir schon klar... sry, dass ich die falschen begriffe nutze...

egal das macht nix. muss die aufgabe eh nicht lösen... scheint zu kompliziert zu sein. ich geb auf xD

31.10.2018, 08:34

klarsoweit

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
Die Aufgabe ist kein bißchen kompliziert. Du mußt nur das jeweilige Kriterium konsequent anwenden. Dabei sind die jeweiligen Voraussetzungen zu beachten. So kannst du ein Kriterium für Potenzreihen nur anwenden, wenn sich die Reihe in der für Potenzreihen verlangten Form ( $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (x - x_0)^n \end{eqnarray*}$ ) befindet. Bei dieser Reihe ist das nicht der Fall, aber man könnte das mit einer geeigneten Umformung erreichen. Will man das nicht tun (niemand zwingt einen), kann man auch das Wurzelkriterium direkt auf die Reihe anwenden. Wenn wir das mal tun, erhalten wir den Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-2|}{5 \sqrt[n]{(n+1) \sqrt{n+3}}} \end{eqnarray*}$

Von diesem Term mußt du nun den Grenzwert für n gegen unendlich bilden. Mit gewissen Vorkenntnissen sollte das kein Problem sein.

31.10.2018, 13:08

Knightfire66

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
Hallo,
danke fürs nicht aufgeben smile

so ich habe nun auch meinen Fehler gefunden.
ich habe nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{(n+1) \sqrt{n+3}}} \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen lassen. (also nur das unter dem bruch Hammer

und hier kam man unter dem bruch auf 0... aber ich kann ja erst n.te wurzel von 1 und dann seperat vom nenner ziehen... hatte ich vergessen...
Nun komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-2|}{5} *\frac{1}{\sqrt[n]{(n+1) \sqrt{n+3}}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{|3x-2|}{5} *\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$
Nun muss |3x-2|< 5 sein...
und dann kommt für x mit fall unterscheidung. betrag + und -:
-7/3 < x < 7/3.

ist das so richtig?
mfg

31.10.2018, 13:17

klarsoweit

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?

Zitat:

Original von Knightfire66
Nun komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-2|}{5} *\frac{1}{\sqrt[n]{(n+1) \sqrt{n+3}}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{|3x-2|}{5} *\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Formal richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{|3x-2|}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{(n+1) \sqrt{n+3}}} \rightarrow \frac{|3x-2|}{5} \cdot \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$ oder noch besser: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{|3x-2|}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{(n+1) \sqrt{n+3}}} = \frac{|3x-2|}{5} \cdot \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Knightfire66
Nun muss |3x-2|< 5 sein...
und dann kommt für x mit fall unterscheidung. betrag + und -:
-7/3 < x < 7/3.

Ich weiß nicht, wie du mit den Beträgen gerechnet hast. Richtig ist: -1 < x < 7/3 smile

Falls die Aufgabe lautet, daß du den kompletten Konvergenzbereich bestimmen sollst, mußt du dann noch die Ränder untersuchen.

31.10.2018, 15:01

Knightfire66

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RE: Für welche x E R konvergiert die folgende Potenzreihe?
ok habs verstanden danke...

randpunktuntersuchung ist einfach... für -1 kommt mit dem leibnizkriterium konvergent...
unf für 7/3 kommt mit dem quotientenkriterium 1 raus und somit divergent bei 7/3...
mfg

31.10.2018, 15:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Knightfire66
unf für 7/3 kommt mit dem quotientenkriterium 1 raus und somit divergent bei 7/3...

Ein komplett falsches somit, denn die Reihe ist auch für $\begin{eqnarray*} x=\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ konvergent:

Das Quotientenkriterium liefert nur dann Divergenz, wenn der Quotient ab einem Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ immer >1 ist - was hier NICHT der Fall ist. unglücklich

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