Dreieck

04.09.2004, 19:34	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Man beweise, dass ein Dreieck genau dann rechtwinklig ist, wenn für seine Innenwinkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \frac{sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma}{cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma} = 2 \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " ist ein Dreieck rechtwinklig, so ist o.B.d.A. $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ = 90°, d.h. $\begin{eqnarray} \frac{sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma}{cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma} = \frac{sin^2\alpha + sin^2\beta + 1}{cos^2\alpha + cos^2\beta + 0} \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} sin \beta = cos \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos \beta = sin \alpha \end{eqnarray}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray} \frac{sin^2\alpha + sin^2\beta + 1}{cos^2\alpha + cos^2\beta + 0} = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha + 1}{cos^2\alpha + sin^2\alpha + 0} = \frac{2}{1} = 2 \end{eqnarray}$ Wie kann ich den Beweis in diese Richtung " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " führen?
04.09.2004, 23:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Nenner hochmultiplizieren und auf die Form ...=0 bringen 2. Alle sin²(...) durch 1-cos²(...) ersetzen und vereinfachen. 3. $\begin{eqnarray} \cos{\gamma}=-\cos{(\alpha+\beta)} \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \alpha+\beta+\gamma=\pi \end{eqnarray}$ - damit $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ eliminieren 4. Additionstheorem des Cosinus 5. ausquadrieren und wieder alle sin²(...) durch cos²(...) ersetzen, vereinfachen 6. ausklammern, Additionstheorem des Cosinus rückwärts, $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ nach 3. herholen Jetzt steht es da. Das ist nicht besonders elegant und geht sicher noch einfacher. Zeig uns eine vereinfachte Variante.

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