Lagrange Rechteck mit maximaler Fläche in gegebener Ellipse

29.10.2018, 21:00	gsf	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Rechteck mit maximaler Fläche in gegebener Ellipse Gegeben sei die Ellipse $\begin{eqnarray} 3x^2+y^2=1 \end{eqnarray}$ und darin soll ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt eingeschrieben werden. Meine Flächenfunktion lautet $\begin{eqnarray} f(x)=4xy \end{eqnarray}$ , wobei x,y Punkte im 1. Quadranten sind (die Formel ergibt sich wegen der Achsenparallelität) und die Nebenbedingung ist $\begin{eqnarray} 3x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich damit rechne komme ich auf $\begin{eqnarray} x=\sqrt{1/6}, y \ = \sqrt{1/2} \end{eqnarray}$ Wie kann ich jetzt begründen dass dieser Kandidat tatsächlich ein Maximum ist? Geht das auch ohne Hessematrix?
29.10.2018, 22:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne Hesse-Matrix geht es, wenn du klassisch traditionell rechnest, also mit HB, NB und mit nur einer Variablen, nach der du dann ableitest. NB: $\begin{eqnarray} y = \sqrt{1 - 3x^2} \end{eqnarray}$ HB: $\begin{eqnarray} A = xy = x \sqrt{1-3x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 - 3x^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 = \frac 1 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = 2 - 36x^2 \end{eqnarray}$ Das Vorzeichen der 2. Ableitung entscheidet nach Einsetzen des Wertes für $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ über die Art des Extremums. mY+
30.10.2018, 12:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar betrachtest du nur ein Viertelrechteck. Man sollte noch den Definitionsbereich angeben: $\begin{align} A = x \sqrt{1 - 3x^2} \, , \ \ x \in \left[ 0 , \sqrt{\frac{1}{3}} \right] \end{align}$ Oder quadriert: $\begin{align} f(x) = x^2 \left( 1 - 3x^2 \right) \, , \ \ x \in \left[ 0 , \sqrt{\frac{1}{3}} \right] \end{align}$ Betrachtet man nun das Randverhalten: $\begin{align} f(0) = f \left( \sqrt{\frac{1}{3}} \right) = 0 \end{align}$ , so muß sich im Innern des Definitionsbereichs ein Maximum befinden. Da sich dort nur eine einzige Lösung für $\begin{align} f'(x) = 0 \end{align}$ ergibt, muß bei ihr auch das Maximum liegen. Eine Untersuchung der 2. Ableitung ist überflüssig.

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