Lagrange Rechteck mit maximaler Fläche in gegebener Ellipse

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gsf Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Rechteck mit maximaler Fläche in gegebener Ellipse
Gegeben sei die Ellipse und darin soll ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt eingeschrieben werden.

Meine Flächenfunktion lautet , wobei x,y Punkte im 1. Quadranten sind (die Formel ergibt sich wegen der Achsenparallelität) und die Nebenbedingung ist .

Wenn ich damit rechne komme ich auf

Wie kann ich jetzt begründen dass dieser Kandidat tatsächlich ein Maximum ist? Geht das auch ohne Hessematrix?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Hesse-Matrix geht es, wenn du klassisch traditionell rechnest, also mit HB, NB und mit nur einer Variablen, nach der du dann ableitest.

NB:

HB:









Das Vorzeichen der 2. Ableitung entscheidet nach Einsetzen des Wertes für über die Art des Extremums.

mY+
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar betrachtest du nur ein Viertelrechteck. Man sollte noch den Definitionsbereich angeben:



Oder quadriert:



Betrachtet man nun das Randverhalten: , so muß sich im Innern des Definitionsbereichs ein Maximum befinden. Da sich dort nur eine einzige Lösung für ergibt, muß bei ihr auch das Maximum liegen. Eine Untersuchung der 2. Ableitung ist überflüssig.
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