Abstandsminimum von 2 dreiachsigen Ellipsoiden

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Abstandsminimum von 2 dreiachsigen Ellipsoiden
hier 2 Gleichungen

E1 : und E2 : von 2 dreiachsigen Ellipsoiden im x,y,z - Raum. [attach]48233[/attach]
Wenn sich diese nicht schneiden, dann muss es die Punkte P und Q auf den Oberflächen geben die den den geringsten Abstand haben. Sozusagen Anfang und Ende beim Funkenüberschlag.

Für die Berechnung von müssen mMn numerische Verfahren her.
Bisher ist mir nur das eingefallen:
Wähle und berechne damit den "oberen" Punkt von E1.
ebenso und damit den "unteren" Punkt Q von E2.

also entsteht eine Funktion von der das Minimum gesucht ist.

die Suche nach der optimalen Stelle erfolgt nun durch Zufallssuche im , wobei die bisher beste Stelle solange gehalten wird bis eine Bessere gefunden ist. Etwas langsam.
Gibt es da irgend etwas Effektiveres?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

da die gesuchte minimale Strecke auf den beiden Flächen senkrecht steht, könnte man die Suche auf eventuell beschränken.

Die Normale in P schneide die E2 in Q' und wieder wird minimiert.
Weiterer Vorteil wäre, dass die Qualität der Näherung sich daran bestimmen lässt welchen möglichst kleinen Winkel
die Normale in Q' mit der Normalen in P hat.

Die Frage ist, ob sich der zusätzliche Rechenaufwand lohnt?
 
 
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsminimum von 2 dreiachsigen Ellipsoiden
Hallo Dopap,

eine "Zufallssuche" ist wohl schon noch nicht das Gelbe vom Ei. Doch lässt sich doch z.B. das Newtonverfahren auch auf Extremalaufgaben in höherdimensionalen Räumen übertragen.

Die Idee mit den übereinstimmenden (bzw. entgegengesetzt gleichen) Normalen-Einheitsvektoren der beiden Ellipsoide in den Punkten P und Q könnte aber das Ganze schon vereinfachen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einem Lagrange-Ansatz für die 6 Variablen der Koordinaten der beiden Punkte und zwei Parameter der Nebenbedingungen erhält man 8 (verhältnismäßig einfache) Gleichungen.
Darauf müsste man dann wohl ein CAS loslassen.


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(NB1)

(NB2)


mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Nur gut wenn man ein "Urgestein" am board hat, nicht schlecht Herr Specht Freude

Das hat alles problemlos funktioniert!
Nur konnte mein TR das NLGS nicht lösen. Was soll's, ich habe dann eben das System mit einem vernünftigen Startwert dem numerischen Equation-Solver übergeben und der hatte nach Sekunden eine Lösung.
Mich wundert immer wieder wie der das macht. Anscheinend sucht der auch nur im "herum" aber irgendwie deutlich gezielter wie meine Suchversuche.

So ungefähr ein Dutzend Iterationen und fertig!

mein Ergebnis gerundet: und
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