Verständnisfrage zur Logik

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Verständnisfrage zur Logik
Es gebe einen Kalkül mit nur einer Prämisse: "p & ~p" und nur einer Ableitungsregel, nach der immer nur die Prämisse abgeleitet werden darf. Wenn ich es richtig verstehe, dann wäre dieser Freak-Kalkül korrekt und vollständig: korrekt, weil keine Formelmenge des Kalküls je wahr werden kann, so dass die semantische Folgerungsrelation immer erfüllt wäre; vollständig, weil keine wahre Aussage nicht abgeleitet werden könnte (es gäbe hier gar keine!). Es kann also inkonsistente Kalküle geben, die korrekt und vollständig sind? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Es gebe..." ist falsch formuliert. In Religion und Physik und Verschwörungstheorien und Romanen gibt es viele solche Kalküle. Sehr zu empfehlen "Der Outsider" von Stephen King.
Der Kalkül hat genau ein Axiom, welches auch die einzige Formel ist, also ist der Kalkül widerspruchsfrei (= konsistent) und negationsvollständig. Von korrekt und vollständig kann man erst sprechen, wenn eine Interpretation vorgelegt wird, denn das sind semantische Begriffe.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Der Kalkül hat genau ein Axiom, welches auch die einzige Formel ist, also ist der Kalkül widerspruchsfrei (= konsistent)


Ja, ok das hatte ich übersehen. Sagen wir also der Kalkül bestehe nur aus p und ~p und habe nur die UND-Regel als Ableitung. Es gäbe also nur folgende Ableitung: p, ~p |- p & ~p. Damit hätten wir einen widersprüchlichen Kalkül, der dennoch korrekt wäre, weil die Formelmenge p, ~p nie wahr sein und daher die semantische Folgerungsrelation nicht verletzen kann (vollständig wäre er trivialerweise auch), denn p,~p |= p & ~p geht in Ordnung. Wäre das ein Beispiel für einen inkonsistenten und dennoch korrekten + vollständigen Kalkül?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was hätten wir davon, wenn wir diese esoterische Frage beantworten könnten? Die Antwort ist ja oder nein.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Was hätten wir davon, wenn wir diese esoterische Frage beantworten könnten?


Wir hätten ein Beispiel für einen widersprüchlichen Kalkül, der korrekt und vollständig wäre, etwas von dem ich immer lese, es wäre unmöglich. Genau deshalb stelle ich es hier als Frage, weil ich mir logischerweise unsicher bin, wo doch mein Exempel die übliche Lesart widerlegt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das so ist, dann ist die Antwort nein.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Wenn das so ist, dann ist die Antwort nein.


Kannst du das auch begründen? Ich habe oben recht dezidiert dargelegt, dass und warum mein inkonsistenter Kalkül korrekt und vollständig sein müsste.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nach deiner eigenen Aussage liest du immer, dass deine Behauptung unmöglich ist. Ich nehme deine Aussage ernst, also hast du mindestens einen Beweis für die Unmöglichkeit der Behauptung. Wenn bewiesen ist, dass die Behauptung unmöglich ist, kann es kein Gegenbeispiel geben. Also ist die Antwort nein. qed.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal als Referenz für ernsthafte Antworter:

Zitat:
Original von Pippen
Sagen wir also der Kalkül bestehe nur aus p und ~p und habe nur die UND-Regel als Ableitung. Es gäbe also nur folgende Ableitung: p, ~p |- p & ~p. Damit hätten wir einen widersprüchlichen Kalkül, der dennoch korrekt wäre, weil die Formelmenge p, ~p nie wahr sein und daher die semantische Folgerungsrelation nicht verletzen kann, denn p,~p |= p & ~p geht in Ordnung; vollständig wäre der Kalkül trivialerweise auch. Wäre das ein Beispiel für einen inkonsistenten und dennoch korrekten + vollständigen Kalkül?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist an der ernsthaften Logik meines ernsthaften Beweises ernsthaft falsch?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Was genau ist an der ernsthaften Logik meines ernsthaften Beweises ernsthaft falsch?


Ich habe nie behauptet, es gäbe einen Beweis dafür, dass widersprüchliche Kalküle immer inkorrekt sind (vollständig sind sie per se). Selbst wenn ich es behauptet hätte: Mein Beispiel wäre ein Gegenbeweis, der jeden angeblichen Beweis als Scheinbeweis entlarven würde, wenn er denn seinerseits richtig wäre.

Ich möchte von dir hier nur noch sachliche Substanz lesen, alles andere wird gemeldet. Du willst erkennbar nicht das Thema behandeln, sondern mein Anliegen bloßstellen und lächerlich machen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

p:=Elektronen sind Teilchen
~p:=Elektronen sind Wellen
p^~p:=Elektronen sind Teilchen und Wellen

Wo ist das Problem? Schon in meiner ersten Antwort habe ich gesagt, dass es in vielen Gebieten solche Kalküle gibt. Wir wissen, dass dieser Kalkül nicht widersprüchlich ist, denn er erfasst einen wichtigen Aspekt der Realität. Sind die Elektronen jetzt keine Elektronen mehr, und geht die Welt jetzt unter ?
Wo ist der Widerspruch ? Das sind einfach 3 wahre Aussagen. Da ist keine Aussage, die nicht wahr wäre, also kein Widerspruch. Dass die verwendeten Symbole rein zufällig auch in einem Kalkül mit Negation auftreten und dort einen Widerspruch erzeugen können, hat keinen Effekt auf diesen Kalkül mit dieser Interpretation.

Um Missverständnisse zu vermeiden, solltest du deine Begriffe sauber definieren, dann weiß man, wovon du redest und was du willst.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Kalkül, der nur die Formeln p, ~p enthält und als Ableitung nur p & ~p zulässt (= K(p,~p) |- p & ~p), der ist inkonsistent, eben weil er p & ~p zuläßt, denn so wird Widersprüchlichkeit definiert. Die Interpretation spielt keine Rolle, wir sind auf der syntaktischen Ebene. Semantisch ist natürlich die Folgerung des Kalküls - p & ~p - falsch. Weil aber bereits die Formelmenge des Kalküls nie wahr sein kann, gilt K(p, ~p) |= p & ~p. Damit wäre dieser Kalkül widersprüchlich und dennoch korrekt und vollständig. ME ist das offensichtlich, aber ich würde es dennoch von jmd. mit Ahnung bestätigt haben, weil ich irgendwann mal aufgeschnappt habe, dass widersprüchliche Kalküle inkorrekt seien und das dann in dieser allgemeinen Form falsch wäre.

Zitat:
Original von Elvis
p:=Elektronen sind Teilchen
~p:=Elektronen sind Wellen
p^~p:=Elektronen sind Teilchen und Wellen

Wo ist das Problem? Schon in meiner ersten Antwort habe ich gesagt, dass es in vielen Gebieten solche Kalküle gibt. Wir wissen, dass dieser Kalkül nicht widersprüchlich ist,


S.o., das ist natürlich widersprüchlich und wird so auch nicht vertreten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das formale System p,~p,p^~p ist (formal) widersprüchlich, weil es p und ~p enthält.
Zusammen mit meiner Interpretation der Elektronen ist das formale System (semantisch) korrekt, weil jede Formel des formalen Systems inhaltlich wahr ist, und es ist vollständig, weil jede wahre Formel innerhalb des formalen Systems bewiesen werden kann.

Wir haben hier tatsächlich ein Beispiel für einen widersprüchlichen, korrekten und vollständigen Kalkül. Mir sind schon vor meiner ersten Antwort spontan mehrere gleichwertige Beispiel eingefallen. Zur allgemeinen Verwirrung hat beigetragen, dass du gesagt hast, das sei "etwas von dem ich immer lese, es wäre unmöglich". Tut mir leid, wenn ich mich daraufhin missverständlich geäußert habe.

Bitte achte zukünftig darauf, dass du semantische Begriffe immer nur im Zusammenhang mit einer Interpretation des Kalküls verwendest. Für sich genommen können die Formeln nicht korrekt oder vollständig sein, das geht immer nur zusammen mit Aussagen, die wahr oder falsch sind.

Ich stelle noch einmal ausdrücklich fest, dass du ein Beispiel einer widersprüchlichen Formelmenge gefunden hast, die bei geeigneter Interpretation korrekt und vollständig ist. Wer auch immer behauptetet, ein solcher Kalkül sei unmöglich, der irrt. Es wäre sehr freundlich von dir, wenn du eine Quelle für diese falsche Behauptung angeben würdest, ich würde gern verstehen, wie man auf diesen Irrtum kommen kann.

Als Ergänzung möchte ich noch ein Beispiel aus der christlichen Religion anführen:
p:=Gott ist eine unteilbare Einheit.
~p:=Gott ist Vater, Sohn und heiliger Geist.
p^~p:=Das Mysterium der Dreieinigkeit.

Wer das nicht glaubt, soll sich am St. Patricks Day (17. März) in eine große volle irische Kneipe begeben und behaupten, das sei logisch nicht möglich. Früher wäre er als Ketzer verbrannt worden, heute wird er aus der Kneipe geprügelt oder unter den Tisch gesoffen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Pippen
Hast du keine Fragen oder Anmerkungen mehr dazu ? Hast du dir schon überlegt, welche Eigenschaften der Kalkül zusammen mit (den wenigen) anderen (Klassen von) Interpretationen hat ?

@Alle erfahrenen Logiker
Sicher habt ihr bemerkt, dass ich hier wieder einmal die "einerseits ... andererseits"-Logik ins Spiel gebracht habe, die ich bereits in den 1980-er Jahren in der Kultsendung "Hallo Spencer" vertreten habe. (Spencers freundlicher blauer Assistent links im Bild ist Elvis.) Big Laugh

Oder war das doch Karl-Gustav ... "ein Vorbild in Sachen Entschlußfreudigkeit ! Seine "Na ja, einerseits - aber andererseits..."-Monologe sind legendär! Manchmal gesellt sich sogar ein "dritterseits" hinzu ..."
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich stelle noch einmal ausdrücklich fest, dass du ein Beispiel einer widersprüchlichen Formelmenge gefunden hast, die bei geeigneter Interpretation korrekt und vollständig ist.


Was meinst du mit "geeigneter"? Ich hätte gedacht, der Kalkül ist bei allen/beliebigen Interpretationen korrekt und vollständig.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht sein. Ich habe schon sehr deutlich gesagt, dass man über Semantik immer nur reden kann, wenn man eine Interpretation hat. Formeln sind nicht wahr oder falsch, Aussagen sind wahr oder falsch.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das kann nicht sein. Ich habe schon sehr deutlich gesagt, dass man über Semantik immer nur reden kann, wenn man eine Interpretation hat. Formeln sind nicht wahr oder falsch, Aussagen sind wahr oder falsch.


Mein Kalkül ist mE korrekt und vollständig, egal welche Interpretation oder Modell du wählst (solange du in klassischer Logik bleibst). Ob Bierseidel, Tischdecken, Elektronen, Krümelmonster, IN, IR etc.pp. - nie wird es vorkommen, dass mit meinem Kalkül aus einer wahren Prämissenmenge was Falsches folgt (Korrektiheit) oder eine wahre Aussage aus der Prämissenmenge des Kalküls nicht im Kalkül abgeleitet werden könnte (Vollständigkeit).

Hier nochmal der Kalkül:

Zitat:

Ein Kalkül, der nur die Formeln p, ~p enthält und als Ableitung nur p & ~p zulässt (= K(p,~p) |- p & ~p)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist eine natürliche Zahl, für die gilt
wahr
falsch
falsch

Dieser Kalkül ist formal widersprüchlich und negationsvollstaendig, er ist semantisch inkorrekt und vollständig.

"... nie wird es vorkommen ..." (das war eine kurze Ewigkeit)
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Dieser Kalkül ist ... negationsvollstaendig


Was bedeutet das eigentlich?

Zitat:
er ist semantisch inkorrekt


Es gilt aber doch 1=1, ~(1=1) |- 1=1 & ~(1=1) und wegen der falschen Prämissen damit immer auch 1=1, ~(1=1) |= 1=1 & ~(1=1). verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Negationsvollstaendig ist die Formelmenge eines Kalküls, wenn zu jeder Formel auch deren Negation zur Formelmenge gehört.
Formeln sind Elemente der Formelmenge. Es ist nicht sinnvoll zu sagen, dass eine Formel gilt oder dass sie wahr ist.
Eine Interpretation macht aus jeder Formel eine Aussage, und jede Aussage ist wahr oder falsch. Den Formeln sieht man den Wahrheitsgehalt der Aussagen nicht an.
Formeln sind keine Prämissen, und man darf die Aussagen nicht als Formeln benutzen, die mit |- verknüpft sind.
Aus |- für Formeln folgt nicht |= für Aussagen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Aus |- für Formeln folgt nicht |= für Aussagen.


Ist das nicht die Definition von Korrektheit? Wenn aus der Formelmenge P die Formel p folgt (P |- p) und wenn diese Formelmenge P in jeder Interpretation (dann auf einmal als wahre Aussagenmenge!!!) P auch die wahre Aussage p ergibt (P |= p), dann ist der Kalkül korrekt. Genau deshalb denke ich ja, dass mein Kalkül korrekt ist, weil nämlich meine Formelmenge in jeder Interpretation immer falsch ist und aus Falschem folgt logisch gültig immer Beliebiges, egal ob wahr oder falsch. Genau deshalb wundere ich mich ja auch, warum widersprüchliche Kalküle so verpönt sind, wenn sie das Ideal des anvisierten Kalküls - Korrektheit und Vollständigkeit - gerade erfüllen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Kalkül ist ein Tripel mit einer Formelmenge und einer Interpretation in eine Aussagenmenge. Eine Formel ist keine Aussage .
oder genauer heißt, dass die Formel innerhalb des Kalküls beweisbar ist.
oder genauer oder noch genauer heißt, dass die inhaltliche Aussage der Formel wahr ist.

Ein Kalkül heißt korrekt, wenn jede beweisbare Formel inhaltlich wahr ist, also genau dann wenn
Ein Kalkül heißt vollständig, wenn jede Formel, die inhaltlich wahr ist, formal bewiesen werden kann, also genau dann wenn

Offensichtlich kann ein Kalkül korrekt und ein Kalkül inkorrekt sein. Beispiele für deine Formelmenge, die daraus einen korrekten bzw. inkorrekten Kalkül machen, habe ich gegeben.

Noch ein extra einfaches Beispiel:

Dann ist korrekt und vollständig, und es ist inkorrekt und unvollständig.

Korrekte und vollständige Kalküle sind keine idealen Kalküle. Korrektheit braucht man für sinnvolle Theorien . Vollständigkeit kann man bekanntlich nicht erwarten, wenn die Theorie groß genug ist. Für sinnlose Theorien ist es ziemlich egal, welche formalen und semantischen Eigenschaften Kalküle haben.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke wir interpretieren die Metabegriffe völlig unterschiedlich und kommen deshalb zu völlig unterschiedlichen Folgerungen. Es wäre gut zu klären, wie denn nun die übliche Lesart ist, ich habe versucht zu begründen, warum ich meine für die übliche halte.

Zitat:
Original von Elvis
oder genauer heißt, dass die Formel innerhalb des Kalküls beweisbar ist.


Nein, es handelt sich der Sache nach um eine Implikation (ergibt sich als Korollar aus dem Deduktionstheorem) und daher bedeutet es genaugenommen: wenn es eine Formel aus P ist, dann ist p im Kalkül beweisbar. Diese Voraussetzung ist also trivial für alle Formeln ~P erfüllt.

Zitat:

oder genauer oder noch genauer heißt, dass die inhaltliche Aussage der Formel wahr ist.


Analog wie oben: wenn die Aussagenmenge A wahr ist, dann ist I(p) wahr und auch hier: wenn A inkonsistent (falsch) ist, dann ist das Ding erfüllt, selbst wenn I(p) falsch wäre.

Zitat:

Ein Kalkül heißt korrekt, wenn jede beweisbare Formel inhaltlich wahr ist, also genau dann wenn
Ein Kalkül heißt vollständig, wenn jede Formel, die inhaltlich wahr ist, formal bewiesen werden kann, also genau dann wenn


Nach dem oben Gesagten wäre das alles falsch formuliert.

Zitat:
Offensichtlich kann ein Kalkül korrekt und ein Kalkül inkorrekt sein.


Nein, ein Kalkül ist entweder in jeder Interpretation korrekt oder nicht (also in einigen Interpretationen oder allen inkorrekt).

Zitat:

Beispiele für deine Formelmenge, die daraus einen korrekten bzw. inkorrekten Kalkül machen, habe ich gegeben.

Noch ein extra einfaches Beispiel:

Dann ist korrekt und vollständig, und es ist inkorrekt und unvollständig.


Das wäre falsch. Beides wäre korrekt und vollständig. Wenn A wahr wäre, dann wäre ja u.a. 1=2 wahr und genau das sagt I(p) der zweiten Variante.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich lege Dirk W. Hoffmann "Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze" zugrunde. Woher nimmst du deine Definitionen ?

Ich bin fest davon überzeugt, dass du dich grundlegend irrst. In einer Formelmenge P ist eine Formel p beweisbar oder unbeweisbar. 1=2 ist in natürlichen Zahlen falsch, da bin ich ganz sicher. Jede Aussage ist wahr oder falsch, man kann nicht einer Menge von Aussagen einen Wahrheitswert zuweisen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich lege Dirk W. Hoffmann "Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze" zugrunde. Woher nimmst du deine Definitionen ?


Aus diversen Quellen: Vorlesungen, Artikel, .... Bei "|=" bin ich mir 100% sicher, dass es so gemeint ist, wie ich schreibe, das habe ich schon oft gehört und gelesen. Und wie gesagt: Aus dem Deduktionstheorem ergibt sich mE, dass sowohl |- als auch |= letztlich als Implikation gelesen werden. Deshalb habe ich das bisher auch nie grroß bezweifelt bis ich eben Hoffmann las, der das so macht wie du, da wurde ich unsicher.

Zitat:

Ich bin fest davon überzeugt, dass du dich grundlegend irrst. 1=2 ist in natürlichen Zahlen falsch, da bin ich ganz sicher. Jede Aussage ist wahr oder falsch, man kann nicht einer Menge von Aussagen einen Wahrheitswert zuweisen.


Aber wenn 1=2 wahr wäre (und genau das definierst du ja in A, in den du da 1=2 und nicht das Gegenteil reinschreibst, oder nicht?), dann wäre in deinem Beispielskalkül auch die 2. Variante von I(p) erfüllt.

Unser Unterschied und der Quell aller weiteren Unterschiede ist:

Ich lese in |- und |= eine Implikation rein, die auch wahr ist, wenn der Antecedens falsch ist; deshalb können bei mir auch Kalküle korrekt sein, die widersprüchlich sind und deren Interpretation ebenso widersprüchlich ist; du tust das nicht, du schaust nur, ob das Ding hinter den beiden Zeichen beweisbar oder wahr ist. Deshalb kommst du auch völlig richtig zu den Ergebnissen, zB in deinem Beispielskalkül.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dich mit mathematischer Logik befassen möchtest, dann solltest du eine heute übliche Logik zugrunde legen. Es gibt auch vor der Mathematik und außerhalb der Mathematik logische Systeme, da darf jeder machen was er will. Das ist ein Thema für die Philosophen, die werden sich sowieso nie einig. In der Mathematik wissen wir, was wir tun und worüber wir reden, für wischi-waschi-Logik nach dem Motto "ich habe mal irgendwo gehört" ist in der Mathematik kein Platz.
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