ODE zweiter Ordnung loesen

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odenoob Auf diesen Beitrag antworten »
ODE zweiter Ordnung loesen
Meine Frage:
Hallo,
ich muesste folgende ODE loesen und weiss leider nicht wo anfangen. Ich vermute allerdings es ist eine sehr bekannte ODE. Vielleicht gibt es irgendwo eine Loesung mit Anleitung oder ihr koennt mir weiterhelfen smile !

[latex] g(x)''+x/2 \cdot g(x)'-n\cdot g(x)=0 [\latex]

mit folgenden BC
[latex]g(0)=1 und g(\infty)=0[\latex]

Ps: Sorry verstehe nicht wieso latex nicht funktioniert... Habe es auch mit /latex versucht




Meine Ideen:
Ne Idee habe ich leider keine, bin aber Über jeden Ansatz dankbar!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstehe, geht es um die homogene lineare Differentialgleichung zweiten Grades



Über hast du nichts gesagt. Ich gehe einmal davon aus, daß eine positive ganze Zahl ist.

Geht man mit dem Potenzreihenansatz



in die Differentialgleichung, so erhält man



Ein Koeffizientenvergleich liefert



Um einmal eine spezielle Lösung zu finden, habe ich und gewählt. Das führt auf das Polynom



als Lösung. Ob das einer speziellen Polynomklasse angehört, wie man sie zum Beispiel bei gewissen Orthogonalitätskriterien braucht, überblicke ich nicht.
Immerhin hast du jetzt eine spezielle Lösung deiner Differentialgleichung. Es gibt ein Verfahren, den Grad der Differentialgleichung damit zu reduzieren. Ob das zu einer übersichtlichen Differentialgleichung ersten Grades führt, habe ich nicht ausprobiert. Im übrigen kannst du natürlich den obigen Potenzreihenansatz weiter verfolgen und die Lösungen in einer Potenzreihendarstellng angeben. Die Rekursionsformel zeigt, daß sich jede Lösung als Linearkombination einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen läßt. Der gerade Anteil ist ein Polynom.

Vielleicht gibt es andere, die sich mit solchen speziellen Differentialgleichungen besser auskennen.
odenoob Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Hermitpolynome ist leider etwas her bei mir und deshalb kann ich das mit diesem Ansatz auch nicht ganz loesen auf die schnelle unglücklich (allgemeine Loesung...)...

Sieht aber sehr gut aus! Andere haben die Gleichung umgeschrieben, indem sie einmal aufintegriert haben, wie von Geisterhand Terme streichen konnten, da wir fuer die Randbedingung im Unendlichen ne 0 haben und dann nur noch ne ODE erster Ordnung hatten. Das Ergebnis sah plausibel aus, der Weg weniger.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von odenoob
Andere haben die Gleichung umgeschrieben, indem sie einmal aufintegriert haben, wie von Geisterhand Terme streichen konnten, da wir fuer die Randbedingung im Unendlichen ne 0 haben und dann nur noch ne ODE erster Ordnung hatten. Das Ergebnis sah plausibel aus, der Weg weniger.

Das passt zu dem bekannten Spruch: Das Lösen von Differentialgleichungen ist eher eine Kunst als eine Wissenschaft.

Aufgrund einer freundlichen Bitte von mir (Was lungerst du schon wieder untätig in meinem Speicher herum?), hat sich Mathematica die DGL mal angesehen. Sie oder er meint:



Dabei ist die Lösung der Hermiteschen DGL zu einem negativen Index. Bei positivem Index sind die Lösungen die Hermiteschen Polynome. Die bissige Bemerkung, damit sei die Lösung der gegebenen DGL nur auf die Lösung einer anderen DGL zurückgeführt, habe ich mir schweren Herzens verkniffen. Man darf ja heutzutage sein Personal nicht mehr verärgern. Immerhin lässt sich rekursiv aus berechnen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesch..._negativem_Wert
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