Flächengrößtes Viereck |
| 30.10.2018, 11:35 | Blume22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Flächengrößtes Viereck Ein Viereck hat vier Seiten fester Länge (a,b,c,d), jedoch keine fixe Form. In welche Lage muss man dieses Viereck bringen, wenn man die größtmögliche Fläche erhalten will? Meine Ideen: Bisher habe ich zwar bereits eine Annahme und kann spezielle Fälle auch beweisen, aber eine allgemeine Begründung für diese Fragestellung fehlt mir. Spezialfall 1: a=b=c=d Flächenihalt Quadrat wäre A(Quadrat)=a^2 Flächeninhalt der Raute wäre, indem ich mir h mit Hilfe eines rechtwinkeligen Dreiecks ausdrücke A(Raute)= . Da jedoch die Seite h des rechtwinkeligen Dreiecks immer kleiner sein muss als die Hypotenuse, kann die Raute nie einen größeren Flächeninhalt haben, also das Quadrat mit gleich langen Seiten. Des Weiteren besitzt eine Raute keinen Umfang nur das Quadrat. Spezialfall 2: a=c, b=d Rechteck/ Parallelogramm Man geht analog vor wie bei der Raute bzw. dem Quadrat. Erneut ist ddas Rechteck flächengrößer und hat einen Umkreis. Allgemeine Vermutung: Das flächengrößte Viereck ist jenes, das in einen Kreis eingeschrieben werden kann, also ein Sehenviereck. Bisher ist meine Vermutung nur sehr wage und meiner Meinung nach noch kein richtiger Beweis. Ich freue mich über Lösungsvorschläge. |
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| 30.10.2018, 11:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig, und es ist eine direkte Folgerung der Formel von Bretschneider für die Vierecksfläche, dabei ist . |
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| 30.10.2018, 20:19 | Blume22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das freut mich wirklich sehr. dass meine Vermutung richtig ist. Aber irgendwie bin ich noch nicht ganz damit zufrieden, denn für mich ist das irgendwie aus der Luft hergeholt. Gibt es eine Möglichkeit dieses Tatsache mathematisch zu zeigen? Irgendwie muss ich ja entweder beweisen, dass dieser Flächeninhalt der größte ist, oder es keinen größeren mehr gibt. Für das Quadrat und das Rechteck konnte ich dies ja auch tun. |
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| 30.10.2018, 20:30 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja klar, man kann diese Flächenformel zeigen, auf der zugehörigen englischen Wiki-Seite ist die Beweisskizze angeführt. |
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| 12.11.2018, 21:12 | Blume22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen, vielen Dank für die Hilfe! |
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