Unendliche Reihe mit doppelt unendlichen Integrationsgrenzen

30.10.2018, 15:49	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe mit doppelt unendlichen Integrationsgrenzen Hallo, da ich auf die schnelle nicht das passende Schlüsselwort gefunden hatte stelle ich die Frage hier: Ist $\begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n = lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^{N} x_n \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n = lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^{N} x_n + lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^{-1} x_n \end{eqnarray}$ ? Die beiden sind nur äquivalent, wenn die Teilsummen konvergieren. Welche Definition wird verwendet? Ich vermute letztere, aber kann es leider via Internet gerade nicht verifizieren. Vielen Dank!
30.10.2018, 21:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm $\begin{align} a_n = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ -1, & n<0 \end{cases} \end{align}$ für ganzzahliges $\begin{align} n \end{align}$ . Für eine natürliche Zahl $\begin{align} N \end{align}$ ist dann $\begin{align} \sum_{n=-N}^N a_n = 1 \end{align}$ , also auch $\begin{align} \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N a_n = 1 \end{align}$ . Dagegen ist $\begin{align} \sum_{n=-N}^{N+1} a_n = 2 \end{align}$ , also auch $\begin{align} \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N+1} a_n = 2 \end{align}$ . Von Konvergenz der Reihe $\begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \end{align}$ zu sprechen, scheint mir da keinen Sinn zu machen. Also: Die Grenzübergänge für die untere und obere Grenze dürfen nicht gekoppelt werden, wenn es um Konvergenz geht. Sobald natürlich entkoppelte Konvergenz vorliegt, liefert auch die gekoppelte Variante denselben Grenzwert. Das hast du ja bereits selbst schon bemerkt.
31.10.2018, 13:51	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Supi, dann hat mich meine Intuition nicht getrügt! Danke

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