Momente der Binomialverteilung

30.10.2018, 17:07	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Momente der Binomialverteilung Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe, bei der mir nicht einmal ein Ansatz einfallen will Ich soll folgendes berechnen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} z^{k}(1-z)^{n-k} \end{eqnarray}$ Meine einzige Idee wäre der binomische Lehrsatz, aber da stört mich das "k", das vor dem Binomialkoeffizienten steht Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt
30.10.2018, 17:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche, für $\begin{eqnarray} k\geq 1 \end{eqnarray}$ die Identität $\begin{eqnarray} k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1} \end{eqnarray}$ nachzuweisen. Damit sowie dem Binomischen Satz kannst du dann die Summe vereinfachen.
30.10.2018, 17:42	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die Identität hab ich nachgewiesen. Allerdings kann ich nicht erkennen, wie ich die Summe dann vereinfachen kann, wenn ich $\begin{eqnarray} k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} n\begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ersetze... Bin leider totaler Anfänger, was Summen angeht.
30.10.2018, 17:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Gegensatz zu Faktor $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ kann man Faktor $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ aus der Summe herausziehen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n n\binom{n-1}{k-1} z^k (1-z)^{n-k} = n\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} z^k (1-z)^{n-k} \end{eqnarray}$ . Immer noch keine Idee, wie es weiter geht? Das Stichwort "Binomischer Satz" gilt immer noch - muss ja nicht mit Exponent $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sein, sondern...
30.10.2018, 20:26	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt stehe ich gerade völlig auf dem Schlauch
30.10.2018, 20:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach einer Indexverschiebung $\begin{eqnarray} j=k-1 \end{eqnarray}$ geht die Umformung so weiter: $\begin{eqnarray} n\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} z^{j+1} (1-z)^{n-j-1} = nz\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} z^j (1-z)^{(n-1)-j} \end{eqnarray}$ . Das war jetzt aber mein letzter Versuch, jetzt musst du es sehen.
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30.10.2018, 21:12	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} = nz(z+(1-z))^{n-1} = nz1^{n-1} = nz \end{eqnarray}$
31.10.2018, 16:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt.
31.10.2018, 16:58	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann vielen Dank für deine Hilfe!

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