Mengen und Kardinalitäten

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Mengen und Kardinalitäten
Meine Frage:
Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei X eine Menge mit Kardinalität n?N (N = natürlichen Zahlen beginnend mit 1)

Zeigen Sie, dass die Mengen {A?P(X)| |A| gerade} und
{B?P(X)| |B| ungerade} die gleiche Kardinalität haben.
Bestimmen Sie außerdem die Kardinalität beider Mengen.

Hinweis: Binomialsatz für x = -1 anzuwenden

Die ? die kommen werden sollen das kleine e bedeuten, welches bedeutet "ist Element von". Weiß nicht warum diese Fragezeichen da erscheinen.

Danke schonmal für eure Tipps Big Laugh

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt keine Ideen, deswegen die Frage...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte die Behauptung der Aufgabe ja auch so formulieren: Es gibt genau so viele Teilmengen einer endlichen Menge mit geradzahlig wie mit ungeradzahlig vielen Elementen.

Am besten einmal ein Beispiel: . Da es auf die Natur der Elemente nicht ankommt, dürfen wir nehmen.
Bekanntermaßen (?) gibt es Teilmengen. Schreiben wir einmal alle auf:









In der ersten und dritten Zeile stehen die Teilmengen mit geradzahlig vielen, in der zweiten und vierten mit ungeradzahlig vielen Elementen. Und es sind jeweils 4 an der Zahl.

Letztlich ist daher zu zeigen:



Oder wenn man alles auf eine Seite bringt:



Vielleicht verstehst du jetzt die Anspielung mit dem Binomischen Lehrsatz:



Wie ist das mit ?
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