Äquivalenz Grenzwert

31.10.2018, 11:05

Marie 123

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RE: Äquivalenz Grenzwert

latex-korrektur
Meine Frage:
Hallo, ich arbeite gerade an meiner Facharbeit und habe Probleme mathematisch sachlich zu argumentieren.

Ich soll folgende Äquivalenz zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax}{cax+b} \to 0 \Leftrightarrow ax \to 0<br /> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$

Ich soll dabei jeweils " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow<br /> \end{eqnarray*}$ " zeigen.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :

Da $\begin{eqnarray*} \frac{ax}{cax+b} \to 0 \end{eqnarray*}$ muss der offensichtlich der Zähler $\begin{eqnarray*} ax \end{eqnarray*}$ auch gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergieren

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$
Da habe ich meine Probleme, da ja eigentlich gilt:

$\begin{eqnarray*} lim_{x\to\infty} \frac{ax}{cax+b} = \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$ gelten muss, da Zählergrad = Nennergrad

Ich bin ein bisschen verzweifelt :/

Bitte um Hilfe,
LG Marie

31.10.2018, 11:50

Elvis

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"Offensichtliche" Argumente glaube ich nicht, für diese Richtung wünsche ich mir einen überzeugenden Beweis.

Bei der anderen Richtung hast du dich vertan.
$\begin{eqnarray*} ax\rightarrow 0\Rightarrow \frac {ax}{cax+b}\rightarrow \frac 0{0+b}=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} b\ne 0 \end{eqnarray*}$

31.10.2018, 12:23

Marie 123

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Zitat:

Original von Elvis
"Offensichtliche" Argumente glaube ich nicht, für diese Richtung wünsche ich mir einen überzeugenden Beweis.

Damit der Grenzwert eines Bruches $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird, muss entweder Zählergrad $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ Nennergrad sein oder Zähler und Nenner müssen gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gehen. Stimmt das?

Zitat:

Original von Elvis
Bei der anderen Richtung hast du dich vertan.
$\begin{eqnarray*} ax\rightarrow 0\Rightarrow \frac {ax}{cax+b}\rightarrow \frac 0{0+b}=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} b\ne 0 \end{eqnarray*}$

Wäre das folgendes ebenfalls korrekt?
$\begin{eqnarray*} \frac {ax}{ax+b}\rightarrow \frac 0{0+b}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Weil eigentlich ja Zählergrad $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ Nennergrad und dementsprechend die Koeffizienten als Bruch dem Grenzwert entsprechen. Was in diesem Fall ja $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ wäre. Gleiche Argumentationsgrundlage habe ich für meinen ersten Post verwendet. Was war da mein Denkfehler?

Lg Marie

31.10.2018, 12:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marie 123
oder Zähler und Nenner müssen gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gehen. Stimmt das?

Das stimmt leider nicht in dieser allgemeinen Form.

Zitat:

Original von Marie 123
Wäre das folgendes ebenfalls korrekt?
$\begin{eqnarray*} \frac {ax}{ax+b}\rightarrow \frac 0{0+b}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Wie Elvis schon sagte, stimmt das nur, wenn b ungleich Null ist. smile

smile

31.10.2018, 14:14

Marie 123

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das stimmt leider nicht in dieser allgemeinen Form.

Schade. Muss ich das mehr spezifizieren?

Zitat:

Original von klarsoweit
Wie Elvis schon sagte, stimmt das nur, wenn b ungleich Null ist. smile

smile

Und das hat den Grund, weil sonst $\begin{eqnarray*} lim_{x\to\infty} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ kein sinnvoller ausdruck wäre und ich auf die Regel von l´hospital zurückgreifen müsste. Und ja, b ist bei mir echt größer 0.

Liege ich denn mit dieser Zählergrad/Nennergrad-Argumentation überhaupt richtig? verwirrt

verwirrt

Da weder du noch Elvis darauf eingegangen seid.

31.10.2018, 15:29

klarsoweit

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RE: Äquivalenz Grenzwert
Das mit der Konvergenz gegen Null, wenn "Zählergrad < Nennergrad ist und x gegen unendlich läuft" ist prinzipiell ok. Allerdings solltest du auch spezifizieren, was es in

Zitat:

Original von Marie 123
Ich soll folgende Äquivalenz zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax}{cax+b} \to 0 \Leftrightarrow ax \to 0<br /> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$

mit den Variablen a, b und c auf sich hat. Sind das irgendwie Konstanten? Oder was weiß man über diese?

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31.10.2018, 15:49

Marie 123

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RE: Äquivalenz Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit
Variablen a, b und c auf sich hat. Sind das irgendwie Konstanten? Oder was weiß man über diese?

$\begin{eqnarray*} a = e^{-r^2}r^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = e^{-r^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = Konstante \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\to\infty \end{eqnarray*}$

31.10.2018, 16:03

klarsoweit

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RE: Äquivalenz Grenzwert
Jetzt haben wir es noch mit einer Variablen r zu tun. Langsam wird die Sache undurchschaubar. geschockt

geschockt

31.10.2018, 16:11

Marie 123

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RE: Äquivalenz Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt haben wir es noch mit einer Variablen r zu tun. Langsam wird die Sache undurchschaubar. geschockt

geschockt

Deswegen habe ich es ja erstmal weggelassen. Und offensichtlich gilt ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}xa = xe^{-r^2}r^2 = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r\to\infty \end{eqnarray*}$

Mir fehlt ja "nur" die vernünftige Argumentationsgrundlage für die Äquivalenz

31.10.2018, 17:42

Elvis

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So kann man eine Aufgabe nicht stellen und nicht bearbeiten. Am besten fängst du noch einmal von vorn an und schreibst alles auf, was du an Voraussetzungen hast und was du beweisen möchtest. Du benutzt schon wieder das Wort "offensichtlich" für etwas, das ganz und gar unverständlich ist. Dieses Unwort musst du dir ganz schnell abgewöhnen.

01.11.2018, 08:30

klarsoweit

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RE: Äquivalenz Grenzwert
Ich stimme Elvis zu. Allein schon dieses:

Zitat:

Original von Marie 123
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}xa = xe^{-r^2}r^2 = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r\to\infty \end{eqnarray*}$

ist formal zumindest fragwürdig, wahrscheinlich sogar Unfug, denn zum einen läuft das x gegen unendlich und irgendwie das r ebenfalls. verwirrt

verwirrt

02.11.2018, 10:10

Marie 123

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Zitat:

Original von Elvis
So kann man eine Aufgabe nicht stellen und nicht bearbeiten. Am besten fängst du noch einmal von vorn an und schreibst alles auf, was du an Voraussetzungen hast und was du beweisen möchtest. Du benutzt schon wieder das Wort "offensichtlich" für etwas, das ganz und gar unverständlich ist. Dieses Unwort musst du dir ganz schnell abgewöhnen.

Ok, ich dachte nur es gibt vielleicht so einen tollen Satz wie "Wenn der Bruch gegen 0 geht, folgt direkt eine Aussage über den Zähler" oder so.

Dann nochmal von vorne.

Mein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist eigentlich eine Variable mit Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Nämlich in meinem Fall $\begin{eqnarray*} r = r(x)^2 = \mbox{ln}\; x + x \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2 = x \cdot e^{-(\mbox{ln}\; x + x )}\cdot (\mbox{ln}\; x + x) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$
Und damit erhalte ich folgende zu zeigende Äquivalenzaussage:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 \cdot e^{-r(x)^2}}{\frac{c\cdot x \cdot e^{-r(x)^2}}{r(x)^2} + x^2 \cdot e^{-r(x)^2}} =\frac{x^2 \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2}{c\cdot x\cdot e^{-r(x)^2}+x^2 \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2} = \frac{x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2}{c\cdot e^{-r(x)^2}+x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2} \to 0 \Leftrightarrow x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2 \to 0<br /> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$

Ich hoffe nun kann man darüber eine vernünftige Aussage treffen. Mehr Bedingungen habe ich nicht verwirrt

verwirrt

02.11.2018, 10:29

HAL 9000

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Das ist Unsinn: Beim ersten Grenzwert ergibt sich u.a. durch Kürzen von $\begin{eqnarray*} e^{-r(x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2}{c\cdot e^{-r(x)^2}+x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{x\cdot r(x)^2}{c+x\cdot r(x)^2} = 1 \end{eqnarray*}$

für dein $\begin{eqnarray*} r(x)^2 = \ln(x)+x \end{eqnarray*}$ . Der andere Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2 = \lim_{x\to\infty} x \cdot e^{-(\ln(x)+x)}\cdot (\ln(x)+x) = \lim_{x\to\infty} e^{-x}\cdot (\ln(x)+x) = 0 \end{eqnarray*}$

ist dagegen richtig, und damit insgesamt deine behauptete Äquivalenzaussage falsch.

02.11.2018, 10:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marie 123
mein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist eigentlich eine Variable mit Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Nämlich in meinem Fall $\begin{eqnarray*} r = r(x)^2 = \mbox{ln}\; x + x \end{eqnarray*}$

Ich liebe solche Sätze, die zumindest den Anschein erwecken, in sich widersprüchlich zu sein. geschockt

geschockt

02.11.2018, 10:41

HAL 9000

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Ja, beim Lesen von $\begin{eqnarray*} r=r(x)^2 \end{eqnarray*}$ haben sich mir auch die Nackenhaare aufgestellt - das birgt schon den Keim der Verwechslung $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vs. $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ in sich. Daher habe ich mich beim Abfassen meines Beitrags oben entschlossen, das anfängliche $\begin{eqnarray*} r= \end{eqnarray*}$ schlicht zu ignorieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2018, 11:06

Marie 123

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Die Wahl von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ war vielleicht wirklich nicht ganz glücklich. aber mit $\begin{eqnarray*} r(x)^2 = \mbox{ln}\; x + x \end{eqnarray*}$ entspricht es der Aufgabe die ich zeigen soll.

@HAL 9000
Ich finde deine Argumentation richtig und in sich schlüssig. Kann ich nachvollziehen, aber ist dann die Aussage

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} ax\rightarrow 0\Rightarrow \frac {ax}{cax+b}\rightarrow \frac 0{0+b}=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} b\ne 0 \end{eqnarray*}$

falsch?

Weil für $\begin{eqnarray*} ax= x \cdot e^{-(\ln(x)+x)}\cdot (\ln(x)+x) \end{eqnarray*}$ geht ja, wie du gezeigt hast gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

02.11.2018, 11:12

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was du meinst - willst du

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2}{c\cdot e^{-r(x)^2}+x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{x\cdot r(x)^2}{c+x\cdot r(x)^2} = {\color{red}1} \end{eqnarray*}$

für dein $\begin{eqnarray*} r(x)^2 = \ln(x)+x \end{eqnarray*}$ .

wegdiskutieren? unglücklich

unglücklich

Was weiter oben im Thread geschehen ist, blende ich aus - es ging ja schließlich um einen (sauberen?) Neustart ohne diese Belastungen durch den vergurkten Threadstart.

P.S.: Hab es mir jetzt doch nochmal angeschaut: Elvis' Aussage ist natürlich richtig, aber:

$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist dort eine Konstante, und du versuchst nun, das auf das nichtkonstante $\begin{eqnarray*} b\stackrel{???}{:=} x\cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2 \end{eqnarray*}$ , welches gegen Null strebt anzuwenden - das geht nicht!!!

02.11.2018, 11:44

Marie 123

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich weiß nicht, was du meinst - willst du

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2}{c\cdot e^{-r(x)^2}+x \cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{x\cdot r(x)^2}{c+x\cdot r(x)^2} = {\color{red}1} \end{eqnarray*}$

für dein $\begin{eqnarray*} r(x)^2 = \ln(x)+x \end{eqnarray*}$ .

wegdiskutieren? unglücklich

unglücklich

Leider ja, da sie ja so in meinem Buch steht verwirrt

verwirrt

Und es muss was mit der Konstanten zu tun haben meinte unsere Lehrerin.

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Hab es mir jetzt doch nochmal angeschaut: Elvis' Aussage ist natürlich richtig, aber:

$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist dort eine Konstante, und du versuchst nun, das auf das nichtkonstante $\begin{eqnarray*} b\stackrel{???}{:=} x\cdot e^{-r(x)^2}\cdot r(x)^2 \end{eqnarray*}$ , welches gegen Null strebt anzuwenden - das geht nicht!!!

Wenn ich das für meine Aussage übersetze ist doch dann:

$\begin{eqnarray*} a = e^{-(\ln(x)+x)}\cdot (\ln(x)+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax = x \cdot e^{-(\ln(x)+x)}\cdot (\ln(x)+x) \end{eqnarray*}$
und nun ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ konstant

und ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax}{ax+c \cdot e^{-(\ln(x)+x)}} \end{eqnarray*}$

02.11.2018, 11:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marie 123
Leider ja, da sie ja so in meinem Buch steht

In dem Fall muss ich mich verabschieden, denn ich lebe nun mal in einer Welt, wo dieser Grenzwert nicht 0 sondern 1 ist. Wink

Wink

02.11.2018, 11:54

Marie 123

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Ich danke dir trotzdem für dein Geduld. Freude

Freude

02.11.2018, 11:54

Leopold

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Zitat:

Original von Marie 123
Leider ja, da sie ja so in meinem Buch steht verwirrt

verwirrt

Und es muss was mit der Konstanten zu tun haben meinte unsere Lehrerin.

Könnte man die Aussage auch so verstehen: Leider ja, da ich das in meinem Buch so verstanden habe ...

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