Mathe-Olympiade 371324

01.11.2018, 09:17

nuboro

Mathe-Olympiade 371324

Meine Frage:
Ich komme bei der 4. Aufgabe gar nicht weiter.
https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/moev_material/Aufgaben/37/2/A37132.pdf

Meine Ideen:
Ich habe gar keine Ideen, die weiter helfen.

01.11.2018, 10:45

HAL 9000

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Es wäre für alle transparenter, wenn du dir wenigstens die geringe (!) Mühe machen würdest, den Aufgabentext hier direkt zu posten, damit alle gleich sehen, worum es geht - statt erst den verlinkten pdf-File zu öffnen. Außerdem können dann Antwortwillige gleich direkt per Copy+Paste Zugriff nehmen.

Zitat:

371324

Man beweise: Wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen sind, für die

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} -+ \ldots - \frac{1}{1330} + \frac{1}{1331} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ durch 1997 teilbar.

Ich verallgemeinere zunächst mal die Behauptung:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine gerade natürliche Zahl, so dass $\begin{eqnarray*} 3n-1 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, sowie $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ ,

dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (3n-1) \end{eqnarray*}$ teilbar.

Und noch ein Tipp dazu: Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{1}{k} -2\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k} = \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

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