Konvergenz in Distribution

01.11.2018, 13:23

Lisamona4567

Konvergenz in Distribution

Sei $\begin{eqnarray*} f \in D ( \mathbb{R} ) \end{eqnarray*}$ . Untersuchen Sie die Konvergenz folgender Funktionenfolgen in $\begin{eqnarray*} D ( \mathbb{R} ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} i) f_k (x) = \frac{1}{k} f(x) , ii) f_k (x) = \frac{1}{k} f(\frac{x}{k}) , iii) f_k (x) = \frac{1}{k} f(kx) \end{eqnarray*}$ .

Wir haben gelernt, dass eine Folge $\begin{eqnarray*} \phi_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} D( \Omega ) \end{eqnarray*}$ genau dann gegen 0 konvergiert, wenn:
1. Es eine kompakte Menge $\begin{eqnarray*} K \subset \Omega \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} supp \phi_n \subset K \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt
und
2. Wenn für alle Multiindizes $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{N}_0^n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | D^{\alpha} \phi_n (x) | = 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

i) 1. $\begin{eqnarray*} supp f_k = supp \frac{1}{k} f(x) \subset supp f(x) \end{eqnarray*}$ und das ist kompakt, da f eine Testfunktion ist.
2. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | D' f_n(x)| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | \frac{1}{k} f'(x) | < \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | D f_n(x)| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | \frac{1}{k} f(x) | < \infty \end{eqnarray*}$

ii) 1. $\begin{eqnarray*} supp f_k = supp \frac{1}{k} f(\frac{x}{k}) = \overline{ \{ x : \frac{1}{k} f(\frac{x}{k}) \neq 0 \} } = \overline{ \{ kx : \frac{1}{k} f(x) \neq 0 \} } \end{eqnarray*}$

Diese Menge kann nicht kompakt sein, da sie bei größerem k immer größer wird.

iii) 1. So ähnlich wie vorher, also:
$\begin{eqnarray*} supp f_k = supp \frac{1}{k} f(kx) = \overline{ x : \frac{1}{k} f(kx) \neq 0 \} } = \overline{ \{ \frac{x}{k} : \frac{1}{k} f(x) \neq 0 \} } \end{eqnarray*}$ und diese Menge wird immer größer, je kleiner k gewählt wird.

Ist das richtig oder mache ich irgendetwas falsch?

01.11.2018, 13:53

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz in Distribution
wo ist bei i) der Multiindex? Außerdem geht's mit n und k munter durcheinander
ii) sieht für mich richtig aus.
iii) du hast doch $\begin{eqnarray*} k\to \infty \end{eqnarray*}$ , k wird also nicht klein.

01.11.2018, 20:46

Lisamona4567

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Also zu i):

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | D^{\alpha} f_k(x)| = \lim_{k \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | \frac{1}{k} f^{\alpha}(x) | < \infty \end{eqnarray*}$ .

Es ist beschränkt, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert und f eine Testfunktion ist.

Zu iii):

1.

$\begin{eqnarray*} supp f_k = supp \frac{1}{k} f(kx) = \overline{ x : \frac{1}{k} f(kx) \neq 0 \} } = \overline{ \{ \frac{x}{k} : \frac{1}{k} f(x) \neq 0 \} } \end{eqnarray*}$ .

Diese Menge wird immer kleiner und nimmt ihren größten Wert bei k=1 an. Dort ist es $\begin{eqnarray*} \overline{ \{ x: f(x) \neq 0 \} } \end{eqnarray*}$ und das ist kompakt, da f eine Testfunktion ist.

2.

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | D^{\alpha} f_k(x)| = \lim_{k \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | k^{\alpha -1} * f^{\alpha}(k*x) | \end{eqnarray*}$

Wie kann ich dann zeigen, dass das beschränkt ist?

01.11.2018, 20:54

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu i): was nützt dir die Beschränktheit? verwirrt

Zu iii): Wer sagt, dass der Ausdruck beschränkt ist?
Stell dir den Graphen einer Funktion vor, die auf dem Intervall [0,1] definiert ist, z.B. den Sinus. Jetzt stauchst du den Definitionsbereich immer weiter zusammen. Dann werden die Steigungen in deinem Graphen immer steiler. Nichts anderes passiert in diesem Aufgabenteil.

03.11.2018, 12:20

Lisamona4567

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein, stimmt, ich muss ja zeigen dass der Ausdruck gegen 0 geht.

i) Der Ausdruck geht gegen 0, je größer k wird, da 1/k immer kleiner wird und Ableitungen von Testfunktionen beschränkt sind.

zu iii): $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sup_{x \in \Omega} | k^{\alpha-1} * f^{\alpha} (k*x) | = \infty \end{eqnarray*}$ , da das k immer größer wird?

03.11.2018, 20:43

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Yup.
Lediglich eine Kleinigkeit zur Notation: $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ein Multiindex, also ist $\begin{eqnarray*} k^{\alpha -1} \end{eqnarray*}$ noch zu erklären. Vermutlich habt ihr $\begin{eqnarray*} |\alpha|=\sum \alpha_i \end{eqnarray*}$ oder ähnliches eingeführt.

05.11.2018, 23:02

Lisamona4567

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt macht das Beispiel viel mehr Sinn!

Mich verwirrt noch das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Wäre es nicht eindimensional, da wir uns $\begin{eqnarray*} D( \mathbb{R} ) \end{eqnarray*}$ anschauen?

Und eine Sache noch: Ich habe überlegt, ob man für iii) 2) eine Testfunktion konstruieren könnte an der man sieht, dass $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in \Omega}|k^{\alpha - 1}*f^{\alpha}(k*x)| \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ geht. Wie könnte ich das konstruieren?

05.11.2018, 23:17

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Mich verwirrt noch das ±. Wäre es nicht eindimensional, da wir uns $\begin{eqnarray*} D(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ anschauen?

Da hast du recht. Ich hatte nur Multiindex gelesen und dann nicht mehr genau gelesen. Es ist aber auch nicht wichtig, weil es in höheren Dimensionen genauso geht.

Was du möchtest, geht mit jeder Testfunktion, die nicht die Nullfunktion ist.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz in Distribution

Verwandte Themen