Beweis der Surjektivität - Warum funktioniert das so?

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Koschi Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Surjektivität - Warum funktioniert das so?
Meine Frage:
Hallo liebes Forum.
Zur Beweis der Surjektivität einer Funktion wird ja oft so vorgegangen. Beispiel: R nach R, y=2x. Dann formt man nach x um, also x=0.5y.
Dann setzt man 0.5y in f(x) ein, also f(0.5y)=2*0.5y=y. Und dadurch, dass wieder y rauskommt, und man keine Einschränkungen in für y und x vornehmen musste, wurde die Surjektivität gezeigt.
Allerdings verstehe ich nicht, warum das funktioniert bzw. warum man das so macht.
Würde es nicht reichen, die Umkehrfunktion zu bilden und zu zeigen, dass die Definitionsmenge der Umkehrfunktion gleich der Zielmenge der Ursprungsfunktion ist?
Wozu formt man f(x) zu so einer Art Umkehrfunktion um, ohne tatsächlich x und y zu vertauschen (wie man es bei der Umkehrfunktions-Bildung macht) und setzt dieses x, ausgedrückt durch y in die Funktion wieder ein und wenn y rauskommt, ist die Funktion surjektiv?
Warum reicht es nicht, den Definitionsbereich der Umkehrfunktion zu untersuchen?

Ich hoffe, ihr versteht was ich meine. Vielen Dank!

Meine Ideen:
Wie gesagt, siehe meine Ideen oben.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Funktion muss ja gar nicht injektiv sein, also muss eine Umkehrfunktion auch gar nicht existieren. Wenn du allerdings direkt eine rechtsinverse Abbildung angeben kannst, zeigt das auch die Surjektivität, das stimmt schon. Allerdings musst du auch diese Abbdung dann nicht einfach nur angeben, sondern auch zeigen, dass sie rechtsinvers ist, das läuft dann so ziemlich auf das selbe hinaus.
 
 
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