Menge linear unabh. Vektoren zeigen

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Menge linear unabh. Vektoren zeigen
Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe sticht mir nicht so recht der richtige Weg ins Auge:

Sei mit .
Zeigen sie, dass eine lin. unabh. Menge ist.

Es ist ja offentsichtlich, dass .

Ich frage mich nur was zeichnet einen Vektor aus, der immer wieder abgebildet wird und dessen Bilder doch lin. unabh. bleiben ?
Mich erinnert das ganze an eine Jordan-Basis, also wo ein Basisvektor auf einen anderen oder auf den Nullvektor abgebildet wird.
Jedoch weiß ich nicht was ich mir jetzt zu nutze machen soll und welche Definition ich von lin.Unabh. zeigen kann/muss.

Eine Menge von Vektoren

Nur wie zeige ich dies am besten, ein Tipp zum starten wäre sehr wilkommen Augenzwinkern

LG

Snexx_Math
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge linear unabh. Vektoren zeigen
Betrachte eine beliebige Linearkombination von Vektoren aus der Menge :

Wende nun darauf (r-1)-mal die Abbildung f an. Was kannst du dann folgern?
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge linear unabh. Vektoren zeigen
Wende auf an:

Da alle anderen Vektoren bereits auf den Nullvektor abgebildet werden.

Nur was soll ich daraus folgern ?
Eine Idee die mir in den Sinn kam war:
Da befinden sich in der Summe entweder gar keine Linearkombination, die v bildet oder aber es befinden sich welche in der Summe , die sich aber auslöschen. Dies folgere ich da der Koeffizient immernoch ist.

Aber ich schätze eine andere Beobachtung ist gefragt verwirrt
Wo soll ich genauer hinschauen ? smile

EDIT:
Mir fällt gerade auf, dass die 's beliebig sind, also könnte man diese auch so wählen, dass sich eine Linearkombination für v nicht wegkürzt, allerdings ist das Ergebnis unabhängig von der Wahl. Darauf folgt dann, dass v linear unabhängig zu allen anderen ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge linear unabh. Vektoren zeigen
Nun ja, es geht ja um die lineare Unabhängigkeit, also um die Frage, ob es nicht-triviale Koeffizienten lambda_i gibt, so daß ist.

Wenn man nun auf beiden Seiten der Gleichung "r-1"-mal die Abbildung f anwendet, erhalten wir:



Daraus kannst schon folgern, welchen Wert lambda_0 haben muß. smile
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge linear unabh. Vektoren zeigen
Ahh, so wollen wir das Problem angehen, verstehe.
Dann folgt natürlich, dass ist.

Und jetzt machen wir das gleiche für alle möglichen und erhalten somit nach und nach , dass die 's Null seien müssen , oder ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge linear unabh. Vektoren zeigen
Genau. Man kann das Verfahren formal noch etwas aufhübschen:

Wir wissen ja nun, daß lambda_0 = 0 sein muß. Angenommen, es gäbe in der Linearkombination nicht-triviale Linearkoeffizienten. Dann gibt es ein kleinstes j mit 1 <= j <= r-1 und . Wegen für 0 <= k <= j-1 erhalten wir:



Wende nun darauf "r-j-1"-mal die Abbildung f an. smile
 
 
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