Lösbarkeit der trigonometrischen Gleichung x+2*sin((x+y)/2)=y

02.11.2018, 13:38	PeterPund	Auf diesen Beitrag antworten »
*Lösbarkeit der trigonometrischen Gleichung x+2sin((x+y)/2)=y Meine Frage:** Ich bin im Moment dabei ein Problem zu analysieren, bei dem häufiger die trigonometrische Gleichung: x+2sin((x+y)/2)=y für $\begin{eqnarray} x,y \in [0, \pi] \end{eqnarray}$ gelöst werden muss. Im Studium habe ich nie ein Kriterium kennengelernt, dass ich auf trigonometrische Gleichungen anwenden kann. Soweit ich weiß hat die Gleichung keine geschlossene Lösung. Ich berechne die Lösungen in Matlab über eine Newton Verfahren und dies funktioniert auch einwandfrei. Trotzdem stellen sich mir ein paar Frage zu dieser Gleichung: (1) Warum hat diese im Allgemeinen keine geschlossene Lösung? (2) Warum ist diese überhaupt lösbar? Es könnte ja sein, dass sie gar keine Lösungen hat. Meine Lösungen sind aber alle sogar extrem 'gut'. Damit meine ich, dass sie in diesem Intervall anscheinend eindeutig sind und stetig. Warum ist das so? (3) Ist es möglich zu zeigen, dass es monoton steigend ist, im Sinne, dass für größere x auch die Lösungen y von x+2sin((x+y)/2)=y größer werden? Vielen Dank Meine Ideen: Das einzige was ich mir vorstellen kann ist über die Stetigkeit der Sinusfunktion zu argumentieren oder den Satz über implizite Funktionen.
02.11.2018, 13:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eine parametrische Darstellung der Lösung ist schon möglich: Substituiert man $\begin{eqnarray} t=\frac{x+y}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u=\frac{y-x}{2} \end{eqnarray}$ , so ist ja einfach $\begin{eqnarray} u=\sin(t) \end{eqnarray}$ . Die Rücksubstitution ergibt dann die Darstellung $\begin{eqnarray} (x,y) = (t-\sin(t),t+\sin(t)) \end{eqnarray}$ . Ok, hier ist jetzt noch nicht die Bereichsbedingung $\begin{eqnarray} x,y\in[0,\pi] \end{eqnarray}$ drin, das muss man noch entsprechend "zuschneiden". EDIT: Ok, ist doch relativ simpel: Sowohl $\begin{eqnarray} x(t) = t-\sin(t) \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} y(t)=t+\sin(t) \end{eqnarray}$ sind stetig und streng monoton wachsend, beide sind sogar als Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ betrachtet bijektiv! Damit existiert auch die Lösungsfunktion $\begin{eqnarray} y=y(x) \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , und sie ist streng monoton wachsend - das beantwortet deine Frage (3). Es folgt weiterhin zusammen mit $\begin{eqnarray} x(0)=y(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x(\pi)=y(\pi)=\pi \end{eqnarray}$ , dass es hier auch genau um das Parameterintervall $\begin{eqnarray} t\in[0,\pi] \end{eqnarray}$ geht.

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