Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform

02.11.2018, 19:27

erstsemester

Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform

Hallo zusammen,

folgende komplexe Zahlen sollen als Polarkoordinate dargestellt werden. Bin ich dabei auf dem richtigen Weg?

1. Komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} \overline {i-1} \end{eqnarray*}$

2. Komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{i\cdot \varphi}} \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz zu

1. $\begin{eqnarray*} \overline {i-1}=i+1=\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2} }\cdot e^{i\cdot \arctan(\frac{1}{-1} ) } =\sqrt{2 }\cdot e^{i\cdot 270°+45° } \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz zu

2. $\begin{eqnarray*} z= \frac{1}{e^{i\cdot \varphi}}=e^{-i\cdot\varphi}=\cos(-\varphi)+i\cdot\sin(-\varphi) \end{eqnarray*}$ , wobei hier die Eulersche Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{i\cdot\varphi}=\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ verwendet wird.

02.11.2018, 20:06

erstsemester

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform
zu 1. eine kleine Korrektur, bin auf dem Übungsblatt etwas verrutscht.

$\begin{eqnarray*} \overline{i-1}=-i-1=\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot\frac{5\pi}{4}} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |z|=r \end{eqnarray*}$ mit Re(z) und Im(z) in III. Quadrant liegt.

02.11.2018, 20:13

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform
Beim zweiten Beispiel solltest du nicht sin(-phi) und cos(-phi) stehen lassen. Das kann man doch hervorragend mittels der Funktionen von phi persönlich darstellen !

02.11.2018, 20:36

erstsemester

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform
wie meinst du das? denn ich muss nun irgendwie auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} z=r\cdot e^{i\cdot\varphi} \end{eqnarray*}$ kommen.

Also zum 2.Beispiel:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i\cdot\varphi}}=e^{-i\varphi}=\cos{(-\varphi)}+i\cdot\sin{(-i\cdot\varphi)}=-1\cdot cos{(\varphi)}-1\cdot i\cdot\sin{(\varphi)} \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} |z|=r=\sqrt{(-1\cos{(\varphi)})^2+(-1\sin(\varphi))^2}=\sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \cos{(\varphi)}^2+\sin{(\varphi)}^2=1 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ ??

Wie steht es mit Beispiel 1?

03.11.2018, 10:27

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \cos (-\varphi) \end{eqnarray*}$ ist doch NICHT $\begin{eqnarray*} - \cos \varphi \end{eqnarray*}$ (!)

-------------------------------

Übrigens wäre es (nein, IST es!) ein Akt der Höflichkeit, nach erhaltener Hilfe nochmals eine Reaktion zu zeigen.
Das hast du in keinem einzigen deiner 5 Threads getan! Das ist nicht nett und manche Helfer werden es sich überlegen, sich dann noch mit deinen Anliegen zu befassen.

03.11.2018, 12:04

erstsemester

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

schon einmal Dankeschön an alle fleißigen Helfer. ist wirklich super was ihr hier leistet.

@mythos: darf ich dich um einen tipp bitten ob überhaupt $\begin{eqnarray*} \cos{\varphi} \end{eqnarray*}$ korrekt ist?

Lieben Dank.

03.11.2018, 12:29

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erstsemester
...
schon einmal Dankeschön an alle fleißigen Helfer. ist wirklich super was ihr hier leistet.
...

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i \varphi}}=e^{-i\varphi}=\cos{(-\varphi)}+i \sin{(- \varphi)}=cos{\varphi}- i \sin{\varphi} \end{eqnarray*}$

weil gilt: $\begin{eqnarray*} \cos(-\varphi) = \cos \varphi \end{eqnarray*}$ , das siehst du gut am EK (Einheitskreis).
Die Beziehung selbst ist in der Gaußschen Zahlenebene gut zu verifizieren, denn z zeigt infolge des negativen Winkels in den 4. Quadranten, dort ist der Realteil positiv und der Imaginärteil negativ.
-----------

Beisp. 1 ist richtig.

mY+

03.11.2018, 12:52

erstsemester

Auf diesen Beitrag antworten »

wundervoll Mythos. Dankeschön.

Damit wären nun sozusagen Realteil $\begin{eqnarray*} \cos{\varphi} \end{eqnarray*}$ und der Imaginärteil $\begin{eqnarray*} -\sin{\varphi} \end{eqnarray*}$

Somit wäre $\begin{eqnarray*} |z|=r=\sqrt{(\cos{\varphi})^2+(-\sin{\varphi})^2}=1 \end{eqnarray*}$ ?
Folglich $\begin{eqnarray*} z=r\cdot e^{i\cdot \varphi}=e^{i\cdot\varphi} \end{eqnarray*}$

Aber kann denn die Polarform das Inverse sein?

Die trigonometrischen Funktionen bereiten mir immer wieder ein paar Probleme,. Gibt es da einen Workshop im Matheboard zu?

03.11.2018, 13:06

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erstsemester
...
Aber kann denn die Polarform das Inverse sein?
...

Was meinst du damit?

Die Polarform ist nur eine andere Schreibweise der komplexen Zahl.
Und der Betrag von $\begin{eqnarray*} z=e^{i \varphi} \end{eqnarray*}$ ist (wegen des trigonometrischen Pythagoras) immer 1 und damit ist 1 auch der Betrag von $\begin{eqnarray*} \frac 1 z \end{eqnarray*}$

mY+

03.11.2018, 13:24

erstsemester

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ausgangssituation ist:

"Schreiben Sie die komplexe Zahl als ihre Polarkoordinate".

Die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i\cdot\varphi}} \end{eqnarray*}$ ist als ihre Polarkoordinate in der Form $\begin{eqnarray*} z=r\cdot e^{i\cdot\varphi} \end{eqnarray*}$ zu formulieren.

Mit den zuvor genannten Umformungsschritten ist die Polarkoordinate dann $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i\cdot\varphi}}=1\cdot e^{i\cdot\varphi} \end{eqnarray*}$ ?

Aus den Umformungsschritten folgt dann, dass die rechte Seite die multiplikative Inverse zur linken Seite ist, rein von den Zahlen her gesehen.

Aber damit wäre die Aufgabe noch nicht gelöst?

03.11.2018, 13:45

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erstsemester
...
"Schreiben Sie die komplexe Zahl als ihre Polarkoordinate".
...

Das ist so nicht richtig formuliert, um nur eine Polarkoordinate handelt es sich nicht.
Es sollte vielmehr lauten: Schreibe die Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten. Es sind ihrer zwei, nämlich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

Somit ist r = 1 und der Winkel ist $\begin{eqnarray*} - \varphi \end{eqnarray*}$ , die Polarkoordinaten der Inversen sind die des inversen Zeigers, also $\begin{eqnarray*} (1; -\varphi) \end{eqnarray*}$

--------------

Zitat:

Original von erstsemester
...
Mit den zuvor genannten Umformungsschritten ist die Polarkoordinate dann $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i\cdot\varphi}}=1\cdot e^{i\cdot\varphi} \end{eqnarray*}$ ?

Aus den Umformungsschritten folgt dann, dass die rechte Seite die multiplikative Inverse zur linken Seite ist ...

Da setzst du doch die beiden Seiten grob fahrlässig gleich! Wende auf den Bruch doch einmal die Potenzgesetze an! Rechts hat demnach $\begin{eqnarray*} -\varphi \end{eqnarray*}$ zu stehen.

mY+

03.11.2018, 18:04

erstsemester

Auf diesen Beitrag antworten »

Also korrekt formuliert:

Für die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i\cdot\varphi}} \end{eqnarray*}$ ist ihre Polarkoordinatenform:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i\cdot\varphi}}=1\cdot e^{-i\cdot \varphi} \end{eqnarray*}$ Darf dies so aufgeschrieben werden?

Für mich ist es schwierig das mathematisch korrekt aufzuschreiben. Vielleicht hast du eine Idee , mit der die Darstellung einwandfrei aufgeschrieben ist?

Vielen Dank.

03.11.2018, 18:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erstsemester
$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{e^{i\cdot\varphi}}=1\cdot e^{-i\cdot \varphi} \end{eqnarray*}$ Darf dies so aufgeschrieben werden?

Ich habe nichts einzuwenden. smile

03.11.2018, 19:09

erstsemester

Auf diesen Beitrag antworten »

wunderbar, danke euch. ihr seit spitze smile

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform

Verwandte Themen