eulersche Formel

02.11.2018, 21:29

sRatlos

Polarform <--> kartesische Form / eulersche Formel

Hallo

Bin bei diesen zwei Aufgaben unsicher:

1) Compute the real and imaginary part of z/w and.

z = i - 2 , w = 2 e ^ (i (pi/4))

Ansatz: z und w in die gleiche Form, d.h. z in die Polarform bringen? Das wäre dann:

z = wurzel(5) * e ^(i * arctan(-1/2)).

Ist diese Umformung richtig?
Da man den Quotienten aus z/w so nicht vereinfachen kann, gehe ich davon aus, dass es einen anderen Weg gibt?

2) For the complex number z below, compute real and imaginary part of e^z.

z = ln2 + i (pi/4)

Ansatz: e^z = e^(a + ib) = e^a * e^ib = e^a (cos(b) + i sin (b))

--> e^z = e^ln2 (cos (pi/4) i sin (pi/4))

= 2 (wurzel(2)/2 + i wurzel(2)/2)

= wurzel(2) + i wurzel(2)

-> Re(z) = wurzel(2), Im(z) = wurzel(2)

Bin ich den richtigen Weg gegangen?

Vielen Dank für eure Hilfe. smile

P.S. Ich werde für das nächste Mal LaTeX installieren u. benutzen.

03.11.2018, 01:24

mYthos

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1)

Richtig, und dann einfach weiter rechnen (TR) ...
Oder wenn beide komplexe Zahlen in Zahlpaarform vorliegen, algebraisch dividieren:

$\begin{eqnarray*} z = -2 + i; \ w = 2 \sqrt2(1+i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac z w = \frac{-2+i}{2 \sqrt2 (1+i)} = \frac {(-2 + i)(1-i)}{2 \sqrt2 \cdot 2} = \ldots \end{eqnarray*}$

2)

Richtig. Rechne direkt >>

$\begin{eqnarray*} e^z = 2 e^{i \frac{pi} 4} = 2(\cos \frac{\pi} 4 + i \sin \frac{\pi} 4) = 2 (\frac{\sqrt 2} 2 + i \frac{\sqrt 2} 2) = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

03.11.2018, 15:48

sRatlos

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Vielen Dank für die Antwort!

Noch eine Frage sorry:

Ich verstehe leider nicht wie ich aus z = 3 - i (7pi/4) mit e^z den Re(z) und Im(z) herausarbeiten kann..

Wäre das: Re(z) = e^3(wurzel(2)/2) und Im(z) = e^3 (-(wurzel(2)/2))

Nochmals Danke für eure Hilfe

03.11.2018, 18:15

Dopap

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Zitat:

Ich verstehe leider nicht wie ich aus $\begin{eqnarray*} z = e^{3 - i (7pi/4)} \end{eqnarray*}$ den Re(z) und Im(z) herausarbeiten kann..

Wäre das: Re(z) = e^3(wurzel(2)/2) und Im(z) = e^3 (-(wurzel(2)/2))

--------------------------------------
nein

$\begin{eqnarray*} z=e^3\cos( 7\pi/4 ) + i \cdotp(- e^3 \sin(7\pi/4)) \end{eqnarray*}$

03.11.2018, 19:13

mYthos

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@Dopap
Das Resultat von sRatlos entspricht doch genau auch dem, welches du angegeben hast!

------
Ich habe das Zitat zur besseren Übersicht in Quote-Tags gesetzt.

mY+

03.11.2018, 19:27

Dopap

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richtig! das ist ja ein besonderer Winkel. Tut mir leid. unglücklich

04.11.2018, 13:57

sRatlos

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Kein Problem!
Und Danke!! smile

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Polarform <--> kartesische Form / eulersche Formel

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