Wahrscheinlichkeitsberechnung von Ereignissen

03.11.2018, 18:03

Patrick1990

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Wahrscheinlichkeitsberechnung von Ereignissen

Hallo,

ich stehe gerade vor einer Aufgabe und weiß leider nicht wie ich da ran gehen soll.
Da ich Wahrscheinlichkeitsrechnung so gut wie nie hatte würde es mich sehr interessieren wie man sowas löst.

Hier die Aufgabe:
Fünf Gegenstände a, b, c, d, e werden mit fünf anderen Gegenständen (Bezeichnung unwichtig) in eine Reihe nebeneinander gestellt. Die fünf nicht bezeichneten Gegenstände werden zufällig angeordnet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
a) Gegenstände a und b stehen zusammen
b) Gegenstände c, d und e stehen zusammen
c) Gegenstand d steht zwischen c und e, jedoch nicht unbedingt neben ihnen

Wie gehe ich da nun vor?
Es gibt nun 10! mögliche Kombinationen.

Vielen Dank im Voraus.

03.11.2018, 18:19

Leopold

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Wenn du die unbezeichneten Gegenstände unterscheidest, etwa mit $\begin{align*} u_1 \end{align*}$ bis $\begin{align*} u_5 \end{align*}$ , dann hast du 10! Möglichkeiten, die 10 unterscheidbaren Objekte anzuordnen. Überlege, wie viele Fälle bei a) nun günstig sind:

ab********
ba********
*ab*******
*ba*******
...
********ab
********ba

Nach Laplace gilt:

$\begin{align*} P(A) = \frac{\text{Anzahl der für } A \text{ günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} \end{align*}$

03.11.2018, 18:46

Patrick1990

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OK, also günstig wären 18 verschiedene Möglichkeiten.

Aber wäre es dann $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{18}{10!} \end{eqnarray*}$ ?

03.11.2018, 19:35

Leopold

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Du hast den Kardinalfehler aller Laplace-Wahrscheinlichkeitsrechnung gemacht. Du hast die günstigen Fälle nicht unter den möglichen gewählt. Du mußt alle (alle!) möglichen Ausgänge in Gedanken durchgehen und überprüfen, ob für sie die Bedingung a) zutrifft. So steht ab******** für ganz viele Möglichkeiten. Hier nur mal drei:

$\begin{align*} abdu_4ceu_3u_1u_5u_2, \ abu_3u_2eu_5du_4u_1c, \ abu_4cu_3eu_2u_5du_1 \end{align*}$

03.11.2018, 23:53

Patrick1990

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Wie kann ich das am besten berechnen? Wüsste nicht wie ich das machen soll.

Etwa $\begin{eqnarray*} 18\cdot 8! \end{eqnarray*}$ ?
Dann wäre $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{18\cdot 8!}{10!}=0,2=20% \end{eqnarray*}$ die Lösung?

04.11.2018, 14:41

Patrick1990

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Demnach wäre es bei b)
$\begin{eqnarray*} \frac{3!\cdot 8\cdot 7!}{10!}=0.067=6,7% \end{eqnarray*}$

Wie geht es aber bei c?

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04.11.2018, 21:57

Leopold

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Die Ergebnisse stimmen. Allerdings bekomme ich Zweifel, ob wir die Aufgabe richtig verstanden haben. Dort heißt es: "Die fünf nicht bezeichneten Gegenstände werden zufällig angeordnet."
Was ist mit den andern? Soll die Reihenfolge abcde immer dieselbe sein, nur unterbrochen von den nicht bezeichneten Gegenständen?

Wenn wir unsere bisherige Auffassung zum Verständnis der Aufgabe beibehalten, kannst du dir bei c) überlegen, daß es dabei nur auf c,d,e ankommt. Vergiß alle anderen. Wie viele Möglichkeiten an Anordnungen dieser Gegenstände hast du insgesamt (mögliche Fälle)? Und in wie vielen von diesen steht d zwischen c und e (günstige Fälle)?
Das ist eine ganz simple Rechnung.
Du kannst natürlich auch versuchen, die Aufgabe in unserem alten Modell mit den 10! Möglichkeiten zu lösen. Wähle zuerst die Plätze für die Menge der c,d,e aus. Dazu solltest du aber etwas über Binomialkoeffizienten wissen.

05.11.2018, 08:50

Patrick1990

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Zitat:

Original von Leopold
Die Ergebnisse stimmen. Allerdings bekomme ich Zweifel, ob wir die Aufgabe richtig verstanden haben. Dort heißt es: "Die fünf nicht bezeichneten Gegenstände werden zufällig angeordnet."
Was ist mit den andern? Soll die Reihenfolge abcde immer dieselbe sein, nur unterbrochen von den nicht bezeichneten Gegenständen?

Das ist eine gute Frage, denke jedoch nicht.

Zitat:

Original von Leopold
Wenn wir unsere bisherige Auffassung zum Verständnis der Aufgabe beibehalten, kannst du dir bei c) überlegen, daß es dabei nur auf c,d,e ankommt. Vergiß alle anderen. Wie viele Möglichkeiten an Anordnungen dieser Gegenstände hast du insgesamt (mögliche Fälle)? Und in wie vielen von diesen steht d zwischen c und e (günstige Fälle)?
Das ist eine ganz simple Rechnung.
Du kannst natürlich auch versuchen, die Aufgabe in unserem alten Modell mit den 10! Möglichkeiten zu lösen. Wähle zuerst die Plätze für die Menge der c,d,e aus. Dazu solltest du aber etwas über Binomialkoeffizienten wissen.

Möglich sind doch erstmal wieder $\begin{eqnarray*} 3!\cdot 8 \cdot 7! \end{eqnarray*}$ Fälle. In $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ dieser Fälle steht d zwischen c und e oder?
Dann wäre es $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{3!\cdot 8\cdot 7!}{3\cdot 10!}=0,022=2,2% \end{eqnarray*}$

05.11.2018, 10:47

HAL 9000

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Zunächst mal zum Nenner: Für $\begin{eqnarray*} 3\cdot 10! \end{eqnarray*}$ gibt es nicht den geringsten Grund, der Laplacesche Grundraum umfasst $\begin{eqnarray*} 10! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, und das ist auch bei dieser Teilaufgabe nicht anders.

Nun zum Zähler: Auch hier ist mir das Zustandekommen nicht ganz klar. $\begin{eqnarray*} 7! \end{eqnarray*}$ kann man noch als Anordnungsmöglichkeiten aller Gegenstände außer c,d,e auffassen, sofern c,d,e bereits vorher angeordnet wurden - Ok. Dann soll wohl $\begin{eqnarray*} 3!\cdot 8 \end{eqnarray*}$ eben jene Anordnungsmöglichkeiten von c,d,e zählen, aber das ist falsch:

Es gibt $\begin{eqnarray*} \binom{10}{3} \end{eqnarray*}$ Auswahlmöglichkeiten für die drei aus den zehn Plätzen, wo c,d,e platziert werden sollen. Ist diese Auswahl erstmal getroffen, so erfüllen nur die Reihenfolgen cde sowie edc die Bedingung "d zwischen c und e", das ergibt summa summarum $\begin{eqnarray*} 2\cdot \binom{10}{3} \cdot 7! = \frac{2\cdot 10!}{3!} \end{eqnarray*}$ günstige Anordnungsmöglichkeiten, und damit zur Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot 10!}{3!\cdot 10!} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Was man auch einfacher hätte haben können, siehe Anmerkung Leopold.

05.11.2018, 11:02

Patrick1990

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zunächst mal zum Nenner: Für $\begin{eqnarray*} 3\cdot 10! \end{eqnarray*}$ gibt es nicht den geringsten Grund, der Laplacesche Grundraum umfasst $\begin{eqnarray*} 10! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, und das ist auch bei dieser Teilaufgabe nicht anders.

Habe einfach die Wahrscheinlichkeit von b)= mit 1/3 multipliziert, daher die 3 im Nenner.

Zitat:

Original von HAL 9000
Nun zum Zähler: Auch hier ist mir das Zustandekommen nicht ganz klar. $\begin{eqnarray*} 7! \end{eqnarray*}$ kann man noch als Anordnungsmöglichkeiten aller Gegenstände außer c,d,e auffassen, sofern c,d,e bereits vorher angeordnet wurden - Ok. Dann soll wohl $\begin{eqnarray*} 3!\cdot 8 \end{eqnarray*}$ eben jene Anordnungsmöglichkeiten von c,d,e zählen, aber das ist falsch:

Es gibt $\begin{eqnarray*} \binom{10}{3} \end{eqnarray*}$ Auswahlmöglichkeiten für die drei aus den zehn Plätzen, wo c,d,e platziert werden sollen. Ist diese Auswahl erstmal getroffen, so erfüllen nur die Reihenfolgen cde sowie edc die Bedingung "d zwischen c und e", das ergibt summa summarum $\begin{eqnarray*} 2\cdot \binom{10}{3} \cdot 7! = \frac{2\cdot 10!}{3!} \end{eqnarray*}$ günstige Anordnungsmöglichkeiten, und damit zur Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot 10!}{3!\cdot 10!} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Was man auch einfacher hätte haben können, siehe Anmerkung Leopold.

Vielen Dank. Wie ginge es noch einfacher?

05.11.2018, 11:11

HAL 9000

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Die Antwort ist implizit in meinem Beitrag enthalten, aber nochmal extrahiert:

Es gibt 3! Anordnungsmöglichkeiten für c,d,e, von denen aber nur die zwei cde sowie edc günstig sind für "d zwischen c und e". Das ergibt Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3!} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Oder noch einfacher: Bei drei gleich berechtigten Elementen ist für jedes die Wahrscheinlichkeit gleich, in der Mitte zu landen, also jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

05.11.2018, 11:14

Patrick1990

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Das verwirrt mich nun. Die 1/3 habe ich doch oben bereits geschrieben. Stehe ich jetzt so auf dem Schlauch?

05.11.2018, 12:44

HAL 9000

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Irgendwo mitten in den Überlegungen ist da bei dir die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ zu lesen. Aber als Endantwort für die Wahrscheinlichkeit steht bei dir

Zitat:

Original von Patrick1990
Dann wäre es $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{3!\cdot 8\cdot 7!}{3\cdot 10!}=0,022=2,2% \end{eqnarray*}$

Also keine Ausreden bitte.

05.11.2018, 12:49

Patrick1990

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Ich kann hier nirgendwo eine Ausrede lesen, sorry.

Also ist die Antwort bei c) 33,33%.

05.11.2018, 12:56

HAL 9000

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Dann mache ich sie deutlich:

Zitat:

Original von Patrick1990
Die 1/3 habe ich doch oben bereits geschrieben.

Ich würde das zumindest so lesen: "Aber ich habe doch oben schon geschrieben, dass das Endergebnis 1/3 ist". Nein, eben nicht!

05.11.2018, 13:01

Patrick1990

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Jetzt bin ich komplett durcheinander.
Ich wollte nur sagen, dass ich den Faktor 1/3 ermittelt habe.

Was ist nun jetzt das Endergebnis? Es gibt 10! Möglichkeiten insgesamt, 3! Möglichkeiten c,d,e anzuordnen und nur 2 der 3! Möglichkeiten erfüllen die Aufgabenstellung c.

Und nun? 2/10!?

05.11.2018, 19:52

Patrick1990

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Oder war 1/3 nun die Lösung? Wäre für jeden Hinweis dankbar.

05.11.2018, 20:55

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
und damit zur Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot 10!}{3!\cdot 10!} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
Das ergibt Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3!} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von HAL 9000
Bei drei gleich berechtigten Elementen ist für jedes die Wahrscheinlichkeit gleich, in der Mitte zu landen, also jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Dreimal wurde schon geantwortet.

Aber vielleicht irritiert dich die Tatsache, daß es nicht nur einen Zugang zur Lösung gibt. In der Laplace-Formel

$\begin{align*} P(A) = \frac{\text{Anzahl der für } A \text{ günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} \end{align*}$

kann man oft im Nenner ganz unterschiedliche Ansätze wählen. Es kommt darauf an, wie man die Ausgänge des Wahrscheinlichkeitsexperiments modelliert. Man muß dann nur im Zähler das Denkmodell des Nenners verwenden, also unter genau den Ausgängen, die man im Nenner sämtliche zählt, diejenigen zählen, die für $\begin{align*} A \end{align*}$ günstig sind.

Beim ersten Ansatz haben wir im Nenner 10!, weil alle Anordnungen der 10 Objekte betrachtet werden (die 3!, die da auch noch steht, ist durch Rechenumformungen aus dem Zähler hinuntergerutscht).

Beim zweiten Ansatz werden nur die möglichen Anordnungen der drei Objekte c,d,e betrachtet, deswegen 3! im Nenner.

Beim dritten Ansatz werden nur die gezählt, die in die Mitte dürfen, deswegen 3 im Nenner, denn entweder darf c oder d oder e in die Mitte, also 3 Möglichkeiten.

05.11.2018, 21:10

Patrick1990

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich würde das zumindest so lesen: "Aber ich habe doch oben schon geschrieben, dass das Endergebnis 1/3 ist". Nein, eben nicht!

Verwirrt hat mich dieses ""...1/3 das Endergebnis ist". Nein, eben nicht."
Somit dachte ich, 1/3 ist doch noch nicht das Endergebnis.

Ich habe es aber wie du bereits gemerkt hast vorher auch noch nicht verstanden.

Vielen Dank.

05.11.2018, 22:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Patrick1990
Somit dachte ich, 1/3 ist doch noch nicht das Endergebnis.

Manche suchen sich einen Satz eines Beitrags aus, verstehen den grammatikalisch falsch, und ignorieren den ganzen großen Rest des Beitrags - wirklich niederschmetternd. Na Leopold hat ja jetzt alles aufgeklärt.

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