Dichtefunktion, Verteilungsfunktion bestimmen

03.11.2018, 19:14

Kathreena

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Dichtefunktion, Verteilungsfunktion bestimmen

Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit der folgenden Dichtefunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{pmatrix} x+1 ,& x\in (-1,0) \\ -x+1 ,& x \in (0,1) \\ 0 ,& sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a.) Ist dies tatsächlich eine Dichtefunktion?

b.) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F von X analytisch und stellen Sie diese graphisch dar.

c.) Zeichnen Sie den Graphen von Dichtefunktion und Verteilungsfunktion und zeigen Sie die Zu-sammenhänge zwischen den beiden Funktionen anhand der Graphen.

Meine Idee:
a.)
Für die Dichtefunktion muss doch gelten:
1.) $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 , \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist integriebar

3.) $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$

aber die 3.) gillt nicht.

b.)
Muss ich hier nicht einfach nur Integrieren ?

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{pmatrix} \frac{x^2}{2}+x ,& x\in (-1,0) \\ -\frac{x^2}{2}+x ,& x \in (0,1) \\ 0 ,& sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.11.2018, 19:29

Elvis

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Skizziere die Funktion f(x), das Integral ist die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse.

03.11.2018, 19:32

mYthos

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Auch 3) gilt hier. Denn die Fläche unter der Dichtefunktion mit der x-Achse ist $\begin{eqnarray*} 0 + \frac 1 2 + \frac 1 2 + 0 = 1 \end{eqnarray*}$
Das kannst du auch mittels der abschnittsweisen Integration nachweisen.

[attach]48260[/attach]

mY+

03.11.2018, 20:10

Kathreena

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Stimmt danke, da hatte ich einen Denkfehler, und ist b.) so richtig ?

Wahrscheinlich nicht, weil die Funktion negative Werte annimmt, aber wie kommt man dann auf die Verteilsfunktion ?

03.11.2018, 21:18

HAL 9000

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Die Verteilungsfunktion ist nicht irgendeine Stammfunktion von f, sondern die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ . In dem Sinne ist von dem hier

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{pmatrix} \frac{x^2}{2}+x ,& x\in (-1,0) \\ -\frac{x^2}{2}+x ,& x \in (0,1) \\ 0 ,& sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lediglich der Teil $\begin{eqnarray*} x\leq -1 \end{eqnarray*}$ richtig; für alle Werte $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ liefert diese Formel hingegen falsche Werte. unglücklich

unglücklich

Wenn die Dichtefunktion wie hier intervallweise gegeben ist, dann berechnet man die Verteilungsfunktion am besten Intervall für Intervall, von "links" (also $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ) beginnend in dieser Weise:

https://www.matheboard.de/thread.php?pos...964#post2070964

03.11.2018, 22:52

mYthos

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Im nachfolgenden Bild ist der Zusammenhang der Dichte- und Verteilungsfunktion dargestellt.
Die Verteilungsfunktion ist - als (kumulative) Fläche - immer positiv. ~~, währenddessen die Integralfunktion selbst durchaus auch negative Werte annehmen kann.~~ [Edit (mY+)]

[attach]48264[/attach]

Der Funktionswert $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist gleich der Fläche unter der Dichtefunktion in den Grenzen von $\begin{eqnarray*} -\infty \text{ bis } x \end{eqnarray*}$ .

Hinweis zur Berechnung der Verteilungsfunktion::
Z.B. ist die Verteilungsfunktion im Intervall [-1; 0] das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{x} \! (x+1) \, dx = (\frac{x^2} 2 + x)\big|_{-1}^{\ x} = \frac{x^2} 2 + x + \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

mY+

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04.11.2018, 00:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
währenddessen die Integralfunktion selbst durchaus auch negative Werte annehmen kann.

Erstaunt1

Was meinst du hier mit die Integralfunktion?

So unmittelbar nach meinem Beitrag gepostet ist das ziemlich missverständlich formuliert: Die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ nimmt jedenfalls nie negative Werte an, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine gültige Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

04.11.2018, 01:03

mYthos

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Textstelle gestrichen. Mit deinem Beitrag hat dies NICHTS zu tun, es betraf die Aussage von Katreena, dass die Funktion auch negative Werte annimmt.

mY+

04.11.2018, 01:04

HAL 9000

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Kathreena hatte nie irgendwelche Integralfunktionen berechnet, sondern nur intervallweise Stammfunktionen.

Zum Nachlesen, damit das nächste mal der richtige Begriff verwendet wird: Unterschied Stammfunktion / Integralfunktion

04.11.2018, 17:58

mYthos

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... und eine davon, nämlich $\begin{eqnarray*} F_1(x)=\frac{x^2} 2+x \end{eqnarray*}$ ist im Intervall [-1;0) negativ.
Was bzw. womit Katreena wirklich gerechet hat, können wir nicht wissen.
-----------
@Katreena: Das bedingt aber nicht, dass deswegen die Fläche negativ wird.
Die Integralfunktion ist, wie schon ausgeführt, jene mit variabler oberer Grenze (x).

mY+

06.11.2018, 22:43

Kathreena

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a.) hab ich nun hinbekommen

b.)
Für $\begin{eqnarray*} x\in (-1,0) \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} F_1(x)=\int_{-1}^{x} \! f(t) \, dt = \int_{-1}^{x} \! t+1 \, dt = \left[\frac{t^2}{2} + t \right]_{-1}^{x} = \frac{x^2}{2} +x - (\frac{1}{2} -1) = \frac{x^2}{2} +x+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} F_2(x) = \int_{-1}^{0} \! f(t) \, dt + \int_{0}^{x} \! f(t) \, dt = \int_{-1}^{0} \! (t+1) \, dt + \int_{0}^{x} \! (-t+1) \, dt = \left[\frac{t^2}{2} +t \right]_{-1}^{0} + \left[-\frac{t^2}{2} +t\right]_{0}^{x} = 0 - (\frac{1}{2} -1) + (-\frac{x^2}{2} +x - 0) = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} +x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{pmatrix} \frac{x^2}{2} +x+\frac{1}{2} ,& x\in (-1,0) \\ \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} +x ,& x \in (0,1) \\ 0 ,& sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c.) Nochmal zum Zusammenhang, der einzige Zusammenhang ist, das beide Flächen immer positiv sind und der Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x, entspricht immer der Fläche der Dichtefunktion bis zu dem Punkt x.

06.11.2018, 23:46

mYthos

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Ja, jetzt stimmt alles smile

smile

mY+

07.11.2018, 00:58

Kathreena

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Mir ist noch nicht ganz klar, warum ich hier

Zitat:

Original von Kathreena

Für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} F_2(x) = \int_{-1}^{0} \! f(t) \, dt + \int_{0}^{x} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$ dazu addieren muss, muss man hier immer alles was "davor" war, dazuaddieren ?

Also wenn ich dann noch nen
Für $\begin{eqnarray*} x \in (1,2) \end{eqnarray*}$ hätte,

müsste ich dann

$\begin{eqnarray*} F_3(x) = \int_{-1}^{1} \! f(t) \, dt + \int_{1}^{x} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$ ?

07.11.2018, 08:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{pmatrix} \frac{x^2}{2} +x+\frac{1}{2} ,& x\in (-1,0) \\ \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} +x ,& x \in (0,1) \\ 0 ,& sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht: Für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

Und auch für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , der Punkt ist in deinen ersten beiden Zeilen wg. der dort offenen Intervalle nicht enthalten, gilt nicht $\begin{eqnarray*} F(0)\stackrel{?}{=}0 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} F(0)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , du solltest diesen Punkt x=0 also einem der ersten beiden Fälle zuschlagen. Insgesamt gilt somit

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 ,&\;x\in(-\infty,-1]\\ \frac{x^2}{2} +x+\frac{1}{2} ,&\; x\in (-1,0) \\ \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} +x ,&\; x \in [0,1) \\ 1 ,&\;x\in[1,\infty) \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Was deine anderen Fragen betrifft, so wiederhole ich nochmal:

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn die Dichtefunktion wie hier intervallweise gegeben ist, dann berechnet man die Verteilungsfunktion am besten Intervall für Intervall, von "links" (also $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ) beginnend in dieser Weise:

https://www.matheboard.de/thread.php?pos...964#post2070964

07.11.2018, 13:39

Kathreena

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Hmm Interessant, ich verstehe.

Nun ist mir aber aufgefallen das bei der Angabe:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{pmatrix} x+1 ,& x\in (-1,0) \\ -x+1 ,& x \in (0,1) \\ 0 ,& sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ definiert wurde.
Deswegen hab ich auch dieses sonst 0 übernommen, auch wenns wenig sinn macht.

Sollte es dann nicht auch in der Angabe $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ sein ?

Als wäre es nicht so richtig:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{pmatrix} x+1 ,& x\in (-1,0] \\ -x+1 ,& x \in (0,1) \\ 0 ,& sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.11.2018, 14:38

HAL 9000

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Das hat mit der Dichte nichts zu tun. Der Wert der Dichte an einer einzigen Stelle (oder sogar endlich vielen Stellen) ist sogar völlig belanglos - der kann beliebig abgeändert werden, ohne dass sich an der Verteilung was ändert. D.h., die Dichteangabe ist schon völlig Ok, wie sie ist.

Nochmal:

Während die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ einer stetigen Zufallsgröße eindeutig festgelegt ist, und das für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , trifft dies für eine zugehörige Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht zu:

D.h., nimmt man irgendeine Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , ändert sie an endlich vielen beliebig gewählten Stellen auf einen beliebigen Wert ab, so ist die so entstandene Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde{f}(x) \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine zu $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ passende Dichte! Denn für beide gilt

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^x \tilde{f}(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

und das ist alles, was zählt. Wenn es geht, dann ist man natürlich bestrebt, eine stetige Dichte zu wählen, aber das geht nicht immer - z.B. bereits im einfachen Fall einer stetigen Gleichverteilung nicht (Werte am Intervallrand!). Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2018, 15:23

Kathreena

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Danke

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