Integritätsbereich und Polynomring

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04.11.2018, 10:45	julia441	Auf diesen Beitrag antworten »
Integritätsbereich und Polynomring Meine Frage: R Integritätsbereich, dann ist auch der Polynomring ein Integritätsbereich. Meine Ideen: R ist also nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement. Ich habe leider keinen Ansatz wie ich die nullteilerfreiheit für den Polynomring zeige.
04.11.2018, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz einfach. Multipliziere 2 vom Nullpolynom verschiedene Polynome miteinander. Zeige, dass das Produkt nicht das Nullpolynom ist.
04.11.2018, 12:08	julia441	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich hätte das dann so: zeige: $\begin{eqnarray} \forall f,g\in R\left[X\right] \setminus \left\{0\right\} \hspace{0.2 cm} gilt \hspace{0.2 cm} fg\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f= \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}X^{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g= \sum\limits_{j=1}^{m} b_{j}X^{j} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} fg=\sum\limits_{k=0}^{n+m} \left(\sum\limits_{i+j=h}^{} a_{i}b_{j} \right) X^{k} \end{eqnarray}$ , da wir von 0 verschiedene Polynome betrachten sind die a_i und b_j ungleich 0 , damit auch das Produkt und somit die Faltung der Polynome. Reicht das so aus?
04.11.2018, 12:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du behauptest, dass alle Koeffizienten ungleich 0 sind, das ist falsch. Warum du bei den Indices zwischen k und h wechselst, verstehe ich nicht.
04.11.2018, 12:17	julia441	Auf diesen Beitrag antworten »
Das h müsste dann wohl ein k sein. Ja das habe ich auch gerade gedacht, aber die a_i und b_j kommen ja aus einem Integritätsbereich R also wenn ab=0 gilt dann muss a=0 oder b=0. Aber jetzt müsste ja für $\begin{eqnarray} fg\neq 0 \end{eqnarray*}$ mindestens eine Kombination der a_i und b_j ungleich null sein oder? Ich weiß noch nicht wieso
04.11.2018, 12:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist $\begin{eqnarray} (a_{12}X^{12}+...+a_0)(b_{1234}X^{1234}+...+b_0) \end{eqnarray*}$ ? Das war übrigens noch ein Fehler. Polynome haben immer auch Konstanten, die Indices fangen also bei 0 an und nicht bei 1. Das ist aber für diese Aufgabe nicht die entscheidende Seite der Polynome.
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04.11.2018, 13:11	julia441	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt ja. Okay das wäre eben : $\begin{eqnarray} a_{12}x^{12}(b_{1234}x^{1234}+...+b_{0}) + ...a_{0}(b_{1234}x^{1234}+...+b_{0}) \end{eqnarray}$ Also "treffen" sich mindestens einmal a_i und b_j die ungleich 0 sind und da diese aus einem Integritätsbereich kommen können diese a_i und b_j nicht gleich 0 sein. Das müsste das Argument sein oder?
04.11.2018, 13:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"mindestens einmal a_i und b_j die ungleich 0 sind" ist noch nicht präzise genug. Was ist $\begin{eqnarray} a_{12}X^{12}b_{1234}X^{1234} \end{eqnarray}$ ? Betrachte die Obergrenze deiner Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+m} \end{eqnarray*}$ !
04.11.2018, 13:36	julia441	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (a_{12}b_{1234})x^{1234+12} \end{eqnarray*}$ Wären es also i+j Monome die ungleich 0 sind?
04.11.2018, 13:37	julia441	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne das macht glaube ich keinen Sinn, ich weiß nicht wirklich...
04.11.2018, 13:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt genau eine Kombination von Indices, die die obere Grenze $\begin{eqnarray} m+n \end{eqnarray}$ erreichen, und das sind die Indices $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ der Leitkoeffizienten der Faktoren. Noch präziser: $\begin{eqnarray} a_nb_m=\sum_{i+j=n+m}a_ib_j \end{eqnarray}$ ist der Leitkoeffizient des Produkts. Weil die Leitkoeffizienten der Faktoren nicht 0 sind (!!!), ist auch ihr Produkt nicht 0 (!!!). Auf kleinere Indices kommt es gar nicht an, die können verschwinden oder auch nicht, der Leitkoeffizient ist von 0 verschieden, also ist das Produkt nicht das Nullpolynom.
04.11.2018, 13:56	julia441	Auf diesen Beitrag antworten »
Und die Begründung, dass das Produkt nicht Null ist liegt eben darin, dass die a_i und b_j aus einem Integritätsbereich R kommen richtig?
04.11.2018, 14:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wäre $\begin{eqnarray} a_nb_m=0 \end{eqnarray}$ , so wäre $\begin{eqnarray} a_n=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b_m=0 \end{eqnarray}$ , weil der Ring integer ist. Ein Leitkoeffizient ist der Koeffizient mit dem höchsten Index, wenn der Leitkoeffizient 0 Null ist, ist das Poynom $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ das Nullpolynom.

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