Beweis gleichseitiges Dreieck zwischen 2 weiteren

04.11.2018, 11:15	lerxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis gleichseitiges Dreieck zwischen 2 weiteren Meine Frage: Hallo liebe Community, ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten: Seien A1A2A3 und B1B2B3 zwei positiv (d.h. gegen den Uhrzeigersinn) orientierte gleichseitige Dreiecke, und sei jeweils Cj der Mittelpunkt der Strecke AjBj, j=1,2,3. Zeigen Sie, dass dann auch C1C2C3 ein gleichseitiges Dreieck bilden. (Hinweis: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Innenwinkel gleich 60 Grad.) Meine Ideen: Meine Idee bisher war das einmal bildlich darzustellen. Danach habe ich versucht mit den Koordinaten von C1, C2, C3 den Winkel mittels Skalarprodukt und der Formel (C1C2C1C2)/\|C1C2\|\|C1C3\| berechnen. Aber irgendwie komme ich damit zu keinem wirklichen Ergebnis. Das Skalarprodukt ist ja Linear, da müsste der Winkel also im "dritten" Dreieck C1C2C3 der gleiche sein, wie in den anderen?
05.11.2018, 13:38	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis gleichseitiges Dreieck zwischen 2 weiteren Das sollte doch funktionieren. Ich bin mal über die Seitenlängen des Dreiecks $\begin{eqnarray} C_1C_2C_3 \end{eqnarray}$ gegangen. Man hat $\begin{eqnarray} \overrightarrow {C_1C_2}=\overrightarrow C_2-\overrightarrow C_1=\frac 1 2 (\overrightarrow A_2 +\overrightarrow B_2) - \frac 1 2 (\overrightarrow A_1 + \overrightarrow B_1)= \frac 1 2 ((\overrightarrow A_2-\overrightarrow A_1)+(\overrightarrow B_2 - \overrightarrow B_1))= \frac 1 2(\overrightarrow {A_1A_2}+\overrightarrow {B_1B_2}) \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \left \|\overrightarrow {C_1C_2} \right \|^2=\frac 1 4 \left ( \left \|\overrightarrow {A_1A_2} \right \|^2 + \left \|\overrightarrow {B_1B_2} \right \|^2 +2\overrightarrow {A_1A_2} \cdot \overrightarrow {B_1B_2}\right )=\frac 1 4 \left ( \left \|\overrightarrow {A_1A_2} \right \|^2 + \left \|\overrightarrow {B_1B_2} \right \|^2 +2 \left \|\overrightarrow {A_1A_2} \right \| \left \|\overrightarrow {B_1B_2}\right \| \cos \left ( \overrightarrow {A_1A_2} ,\overrightarrow {B_1B_2}\right ) \right ) \end{eqnarray}$ Analog folgt: $\begin{eqnarray} \left \|\overrightarrow {C_1C_3} \right \|^2=\frac 1 4 \left ( \left \|\overrightarrow {A_1A_3} \right \|^2 + \left \|\overrightarrow {B_1B_3} \right \|^2 +2 \left \|\overrightarrow {A_1A_3} \right \| \left \|\overrightarrow {B_1B_3}\right \| \cos \left ( \overrightarrow {A_1A_3} ,\overrightarrow {B_1B_3}\right ) \right ) \end{eqnarray}$ Da die Dreiecke $\begin{eqnarray} A_1A_2A_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_1B_2B_3 \end{eqnarray}$ gleichseitig sind, ist $\begin{eqnarray} \left \|\overrightarrow {A_1A_2} \right \|=\left \|\overrightarrow {A_1A_3} \right \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left \|\overrightarrow {B_1B_2} \right \|=\left \|\overrightarrow {B_1B_3} \right \| \end{eqnarray}$ und korrespondierende Seiten sind um den gleichen Winkel gegeneinander verdreht $\begin{eqnarray} \cos \left ( \overrightarrow {A_1A_2} ,\overrightarrow {B_1B_2}\right )=\cos \left ( \overrightarrow {A_1A_3} ,\overrightarrow {B_1B_3}\right ) \end{eqnarray}$ Daher ist $\begin{eqnarray} \left \|\overrightarrow {C_1C_2} \right \|^2=\left \|\overrightarrow {C_1C_3} \right \|^2 \end{eqnarray}$ Entsprechend ergibt sich, dass die dritte Seite des C-Dreiecks gleich diesen beiden Seiten ist, das C-Dreieck also gleichseitig ist.

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