Konvergenz einer Folge beweisen

04.11.2018, 14:32

kokoma

Konvergenz einer Folge beweisen

Meine Frage:
Hallo,

stehe vor folgender die $\begin{eqnarray*} Folge (a_{n})_n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} a_{n} := \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} a := \lim_{a \to b} a_{n} \end{eqnarray*}$ , anhand der Definition konvergenter Folgen. [/latex]

Meine Ideen:
Prinzipiell hab ich die Definition verstanden, jedoch fällt mir grade hierbei die Wahl des $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ schwer.

Die Folge konvergiert ja gegen 0:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} =\frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n} } = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{ \frac{1}{\sqrt{n}} }{\sqrt{1+\frac{1}{n} } +1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{1}{\sqrt{n}} }{\sqrt{1+\frac{1}{n} } +1} = \frac{0}{\sqrt{1+0}+1} = 0 \end{eqnarray*}$

05.11.2018, 09:11

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Folge beweisen

Zitat:

Original von kokoma
Prinzipiell hab ich die Definition verstanden, jedoch fällt mir grade hierbei die Wahl des $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ schwer.

Nun ja, mit einer kleinen Abschätzung läßt sich das relativ einfach regeln:

Zunächst ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} < \frac{1}{\sqrt n + \sqrt n} \end{eqnarray*}$

Zu jedem Epsilon kannst du nun ein N_0 angeben, so daß für alle n mit n > N_0 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist. smile

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