Kongruenzklassen von Primzahlen

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erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzklassen von Primzahlen
Hallo zusammen,

da ich in der letzten Zeit sehr gute Unterstützung durch die aktiven Helferlein hier im Board erhalten habe, möchte ich gerne noch einmal eure Unterstützung hinsichtlich meines Lösungsansatzes in Anspruch nehmen:

Für die Primzahlen , ist zu prüfen, welche Kongruenzklassen Quadrate sind. Indem man jeweils alle berechnet.

Fällt Ihnen etwas über die Anzahl der Quadrate in Abhängigkeit von p auf?

Mein Ansatz:

Für jedes gibt es [n-1] Kongruenzklassen.

Für sind die Kongruenzklassen . Dann sind .

Analog gilt dies z.B. für .


.

Betrachtet man nun die Anzahl der Quadrate in Abhängigkeit von , so gibt es in jeder 1-Stelligen Primzahl genau 2 Kongruenzklassen, die Quadrate sind. In jeder 2-stelligen Primzahl sind es 3 Kongruenzklassen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt auf, dass die Primzahlen zwischen 5 und 13 nicht 5,7,9,11 sondern 5,7,11,13 sind. Die Quadrate hast du falsch gezählt. Für p=11 hast du 5 Quadrate aufgeschrieben und nicht 3.

Mach noch einmal und zähle genauer. Stelle dann eine Vermutung auf und verifiziere diese Vermutung für die Primzahlen 17,19,23,29.
 
 
erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

herzlichst gedankt sei dir für die Unterstützung vorab.

Also ich habe mir folgendes Überlegt:

Für p=5 gibt es (p-1)/2 Kongruenzklassen: [a]={1,2,3,4},´dann sind wegen der Symmetrie zwei Kongruenzklassen quadratisch [b[a]]={1,4}.

Wegen der Symmetrie gebe ich immer nur die Hälfte der Kongruenzklassen für eine Primzahl an.

Nach diesem Schema ergibt sich für

p=7 : [a]={1,_,6}, wobei [a]={1,2} quadratisch sind und [a]={3} nicht,
p=11: [a]={1,_,10}, wobei [a]={1,2,3} quadratisch sind und [a]={4,5} nicht-quadratisch.
p=13: [a]={1,_12), wobei [a]={1,2,3} quadratisch und [a]={4,5,6} nicht-quadratisch.
p=17:[a]={1,_16}, wobei die Kongruenzklassen [a]={1,_4}´quadratisch und [a]={5-8} nicht quadratisch sind.

Wenn dies bis p=23 fortgeführt wird ergibt sich aus der Symmetrie (QR: Anzahl der Kongruenzklassen, die Quadrate sind, NR: Anzahl der Kongruenzklassen, die keine Quadrate sind

p=5 --> QR=2 NR=0
p=7 --> QR=2 NR=1
p=11 --> QR=3 NR=2
p=13 --> QR=3 NR=3
p=17 --> QR=4 NR=4
p=19 --> QR=4 NR=5
p=23 --> QR=5 NR=6

Wie mache ich jetzt an dieser Stelle weiter? Denn eine Logik daraus ergibt sich aber, lässt sie sich verallgemeinern?

Meine Behauptung:

Sei p Primzahl und p+1 die darauffolgende Primzahl, so gilt für "n" Anzahl der quadratischen Kongruenzklassen , dass sie sich nach p+2 Primzahlen um n+1 erhöht. Für die nicht-quadratischen Kongruenzklassen gilt bei p_0: n_0=0, für p_i: n_i=n_{i-1}+1

Ist das korrekt und wie mache ich weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da einen grundsätzlichen Denkfehler drin:

Du kannst dich zwar bei auf die Hälfte der Restklassen beschränken, also etwa , aber es ist falsch, sich auch bei von vornherein auf die Werte zu beschränken. unglücklich

Beispiel , da ergeben die quadratischen Reste und demzufolge die Nichtreste , usw.

Insofern ist deine ganze Kategorisierung komplett zu überarbeiten. unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast leider eine Symmetrie erkannt, wo keine Symmetrie vorhanden ist. Deshalb ist das Ergebnis falsch, und die tiefere Wahrheit bleibt dir verborgen.
erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Hal,

jetzt musst du mich etwas abholen. dein Beispiel hab ich nun nicht verstanden.

wieso sind für die Kongruenzklassen [a]={1,2,3}, denn für Kongruenzklasse 3 erhalte ich doch [b[a]]^2=2 ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

p=7: a=1,2,3,4,5,6; a²=1,4,2,2,4,1
also sind 1,2,4 quadratische Reste, 3,5,6 quadratische Nichtreste modulo 7
erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: das hilft mir. ich werde heute abend noch einmal einen lösungsansatz schreiben. hab die Definition offensichtlich nicht verstanden gehabt. soll es aber auf das Legendre-Symbol hinauslaufen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da besteht ein Zusammenhang, aber für die simple Rechnung und Abzählung wird das Legendre-Symbol noch nicht gebraucht.
erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »

so, nun endlich daheim...

Für die Primzahlen p =5,7,11,13 existieren jeweils p-1 Kongruenzklassen. Erstellt man für jedes p die Tafeln nach dem Muster

[a] : 1 2 3 _____ (p-1)
------------------------------
[a]^2 :

so gibt es zu jedem p genau "n" quadratische und "n" quadratische Nicht-Kongruenzklassen.

Aber wozu diese Erkenntnis dienen soll, ist mir noch verborgen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön, es gibt jeweils gleich viele quadratische Reste und quadratische Nichtreste, also jeweils .(Die 0 ist auch eine Restklasse, aber keine prime Restklasse.)
Das war vermutlich die erste Erkenntnis von Euler (Entdeckung) und C. F. Gauß auf dem Weg zu einem seiner wichtigsten Theoreme, dem quadratischen Reziprozitaetsgesetz (Beweis des von Gauß so genannten "theorema aureum" 1801 in den Disquisitiones Arithmeticae). Damit beginnt die moderne Zahlentheorie, die im Zahlbericht von Helmut Hasse die beiden Teile "Klassenkoerpertheorie" und "Allgemeines Reziprozitaetsgesetz" behandelt. Näher kann man einigen der tiefsten Einsichten der Mathematik nicht kommen. (Siehe auch "Artinsches Reziprozitaetsgesetz" auf Wikipedia und dort den Weblink ncatlab.org). Wer das alles verstanden hat kann sich mit dem Träger der Fields-Medaille Peter Scholze über das weitere Vorgehen abstimmen.
erstsemester Auf diesen Beitrag antworten »

super Dankeschön. dein tipp hat mir auch sehr geholfen. denn es lag an der Auffassung wie ich die Modulo-Restklassen verstanden hatte smile
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