Vollständige Induktion

04.11.2018, 17:07

schüler04

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Ich habe von einem Lehrer eine Aufgabe zusätzlich bekommen, um das Beweisprinzip vollständige Induktion zu festigen.

Ich soll beweisen, dass für n>2 gilt: $\begin{eqnarray*} 2n^{2} \end{eqnarray*}$ > 4n+1 Muss ich im Induktionsschritt noch weiter umformen oder reicht das aus?

Meine Ideen:
Ich habe zuerst gezeigt, dass es für ein n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt durch einsetzen. Dann muss ich zeigen, dass es für n+1 gilt. Ich habe angefangen umzuformen und habe am Ende folgende Ungleichung raus.
$\begin{eqnarray*} 2(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ > 4(n+1)+1
Umformen und Induktionsvoraussetzung verwenden. Dann komme ich auf folgende Ungleichung:
8n+3>4n+5

04.11.2018, 21:56

klarsoweit

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RE: vollständige Induktion
Nun ja, es ist leicht einzusehen, dass die Ungleichung für alle n gilt. Aber mit welchem n hast du den Induktionsanfang gemacht?

04.11.2018, 22:34

mYthos

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Also $\begin{eqnarray*} 4n > 2-\delta; \ \delta>0 \end{eqnarray*}$
Gilt dies nun für alle n > 2?
----------
Allerdings kann die Ungleichung auch direkt (also ohne vollständige Induktion) bewiesen werden.

mY+

05.11.2018, 14:20

schüler04

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RE: vollständige Induktion
Habe meinen Induktionsanfang mit n=3 gemacht.

Aber reicht meine Umformung aus, um mit der vollständigen Induktion zu beweisen, dass die Ausgangsungleichung gilt für alle n?

05.11.2018, 14:33

klarsoweit

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RE: vollständige Induktion
Nun ja, wie gesagt solltest du ein paar warme Worte darüber verlieren, warum 8n+3 > 4n+5 gilt.

06.11.2018, 13:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von schüler04
Umformen und Induktionsvoraussetzung verwenden. Dann komme ich auf folgende Ungleichung:
8n+3>4n+5

Es scheint mir gerade beim Nachweis von Ungleichungen per Vollständiger Induktion oft ein Missverständnis vorzuliegen - manchmal vielleicht nur auf der Formulierungs-, aber häufig auch auf der Verständnisebene. Im vorliegenden Fall funktioniert die Argumentation im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ ja so: Es ist

$\begin{eqnarray*} 2(n+1)^2 = 2n^2+4n+2 \stackrel{IV}{>} 4n+1+4n+2 = 8n+3 \stackrel{!}{>} 4n+5 \end{eqnarray*}$ ,

dabei kennzeichnet IV die Stelle, wo die Induktionsvoraussetzung zum Einsatz kommt. Damit die gesamte Ungleichungskette klappt, muss aber auch $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{>} \end{eqnarray*}$ begründet werden. Es ist also nicht so, dass $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{>} \end{eqnarray*}$ aus der IV "folgt", sondern dass die tatsächliche Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{>} \end{eqnarray*}$ in Kombination mit der IV hinreichend ist, um die Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray*} 2(n+1)^2 > 4(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ zu beweisen.

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Davon abgesehen beweist man das ganze am besten ohne Vollständige Induktion, z.B. mit dem Einzeiler

$\begin{eqnarray*} 2n^2-(4n+1) = (n-3)(2n+2)+5\geq 5 > 0 \end{eqnarray*}$ , gültig für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

06.11.2018, 13:27

klarsoweit

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Na ja, es sollte ja zum Üben mit Vollständiger Induktion gemacht werden. smile

06.11.2018, 14:59

HAL 9000

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Ist schon klar, ansonsten hätte ich mich ja auch auf das letzte Viertel meines obigen Beitrags beschränkt. Ich werde dennoch immer wieder darauf hinweisen, dass diese Polynomungleichungen so ziemlich die schlechtesten Beispiele für die Nützlichkeit der Vollständigen Induktion sind. Augenzwinkern

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