Äquivalenzrelation, Potenzmenge, Quotientenmenge, Mächtigkeit

04.11.2018, 17:57	Erstibrauchthilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation, Potenzmenge, Quotientenmenge, Mächtigkeit Meine Frage: X ist eine endliche Menge mit #(X)=n und sei ~ die Äquivalenzrelation auf der Potenzmenge P(X) definiert durch: Y~Z :<=> (Y und Z sind gleichmächtig) Für alle Y,Z c X (Y, Z Teilmengen von X). Sei P(X)/~ die Quotientenmenge. Beweisen Sie, dass: #(P(X)/~)=n+1 Meine Ideen: Ich habe mir überlegt, dass es Teilmengen von X gibt mit: 0 Elementen, 1 Element, 2 Elementen, 2 Elementen,..., n Elementen => Es gibt (n+1) verschiedene Teilmengen mit verschiedenen Mächtigkeiten Von da weiß ich nicht, wie ich auf die Äquivalenzklassen schließe und somit auf die Menge der Äquivalenzklassen (bzw die Quotientenmenge) und von da auf die Mächtigkeit der Quotientenmenge. Danke an jeden der versucht mir zu helfen!
04.11.2018, 18:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist so gut wie fertig mit dem Beweis. Die Klassen sind die Mengen gleichmächtiger Teilmengen von X, die Quotientenmenge ist die Menge der Klassen, eine Element einer Klasse enthält entweder 0,1,... oder n Elemente, das sind n+1 Klassen, also hat die Quotientenmenge die Mächtigkeit n+1. (Dieser Satz ist etwas verunglückt: "Es gibt (n+1) verschiedene Teilmengen mit verschiedenen Mächtigkeiten" )
04.11.2018, 18:34	Erstibrauchthife	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das verstehe ich, aber wie kann ich das dann konkret formulieren?
04.11.2018, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Behauptung: #(P(X)/~)=n+1 Beweis: Die Klassen sind die Mengen gleichmächtiger Teilmengen von X, die Quotientenmenge ist die Menge der Klassen, ein Element einer Klasse enthält entweder 0,1,... oder n Elemente, das sind n+1 Klassen, also hat die Quotientenmenge die Mächtigkeit n+1. q.e.d.
04.11.2018, 18:47	Erstibrauchthife	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dachte das wäre nicht ausreichend, aber dann großes Dankeschön!
04.11.2018, 19:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir reicht das voll und ganz, und wenn du es verstanden hast, dann wird es dir auch reichen. Wenn dir der Beweis nicht völlig klar ist, musst du ihn so lange umformulieren, bis du ihn verstehst. Wenn du diesen Beweis als Lösung für eine Übungsaufgabe abgibst, kann ich nicht garantieren, dass es jedem Korrektor reicht. Das nennt man Restrisiko. Haben wir eine Beweislücke darin, dass wir nicht sicher sind, dass zu jeder Zahl k zwischen 0 und n eine Teilmenge von X der Mächtigkeit k existiert ? Wenn dem so ist, haben wir bisher nur bewiesen, dass #(P(X)/~)<=n+1 gilt.
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05.11.2018, 07:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lücke kann man formvollendet schließen, indem man ein volles Vertretersystem - rekursiv konstruiert oder - nach Definition einer bijektiven Funktion von {1,...,n} nach X aufschreibt. Man kann auch die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von X (kombinatorisch) berechnen.

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