Diedergruppe Untergruppe der Orthohonalen-Gruppe?

04.11.2018, 20:20	Sina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Diedergruppe Untergruppe der Orthohonalen-Gruppe? Meine Frage: Guten Abend zusammen. Ich versuche gerade zu zeigen das 1) $\begin{eqnarray} D_{n} = \left\{ A \in O(2;\mathbb R ) \| A P_{n} \subset P_{n} \right\} \end{eqnarray}$ also die n-te Diedergruppe eine Untergruppe der Orthogonalen 2x2 Matrizen mit Einträgen in R ist. (hierbei ist $\begin{eqnarray} P_{n} = \left\{ (\cos(\frac{2\pi m}{n} ) ,\sin(\frac{2\pi m}{n}) ) \| m = 0,...,n-1 \right\} \end{eqnarray}$ die Menge aller Eckpunkte in einem regulären n-gon in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ ) 2) das $\begin{eqnarray} R_{n} = \left\{ A \in D_{n} \| det(A) = 1 \right\} \end{eqnarray}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray} D_{n} \end{eqnarray}$ ist Meine Ideen:* Leider bin ich mir hier nicht sicher wie ich den Beweis führen soll, mir ist Bewusst das es sich bei der O(2;R) um Matrixdarstellungen von Drehungen und Spiegelungen (hier: in der Ebene) handelt. Das die Teilmengen nicht leer sind ist klar. Allgemein würde ich nun zeigen: Seien $\begin{eqnarray} A,A' \in D_{n} \end{eqnarray}$ , dann gilt für $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} det(A) = det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc = \pm 1 \end{eqnarray}$ und analog für $\begin{eqnarray} det(A') = det\begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = a'd' - b'c' = \pm 1 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} det(A A') = det\begin{pmatrix} aa'+bc' & ab' + bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \end{pmatrix} =.. .. = ad(a'd'-b'c') -bc(d'a'-c'b') = ad -bc = 1 \end{eqnarray}$ und somit wieder aus der Diedergruppe, oder sehe ich dies falsch? Ich bin mir hier nicht sicher wie ich die 2-dim. Vektoren /Tupel aus $\begin{eqnarray} P_{n} \end{eqnarray}$ mit einbringen kann/muss. Zusätzlich lese ich im Wikipedia Eintrag das es sich bei der Diedergruppe um Matrizen folgender Art handelt: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Leider haben wir dies aber nirgends im Skript vermerkt/notiert , weshalb ich dies ungern benutzen möchte. Könnte mir jemand sagen ob meine allgemeine Herangehensweise in Ordnung ist oder wie ich alternativ vorgehen sollte ? Vielen Dank im voraus Gruß Sina94

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