Matrix aus Jordanblöcken - Dimension von Kern

05.11.2018, 17:11	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix aus Jordanblöcken - Dimension von Kern Hallo zusammen, folgende Aufgabe lässt sich von mir ohne Hilfe nicht lösen: Gegeben ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} J(r_1) & 0 & ... & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & & 0 \\ 0&...&0& J(r_k)\end{pmatrix} \in M_n(K) \end{eqnarray}$ Aufgabe: Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} dim Kern(A^i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz bis jetzt: Für i=0 , ist $\begin{eqnarray} A^0=E_n => dim Kern(A^i)=0 \end{eqnarray}$ Für alle weiteren i's hab ich noch keine Formel, aber folgende Beobachtungen/Vorüberlegungen: Multipliziert man die Matrix A mit sich selbst , wird jeder Jordanblock $\begin{eqnarray} J(r_j) , j=1,..,k \end{eqnarray}$ mit sich selbst verrechnet. Diese sind ab einer Potenz von $\begin{eqnarray} r_j-1 \end{eqnarray}$ die Nullmatrix. Zudem verringert sich der Rang jedes Jordanblocks mit jeder Potenz genau um 1. Ab der Nullmatrix natürlich nicht mehr. Somit wächst der Kern immer um die Anzahl der Jordanblöcke , die noch nicht null sind. Genauer: Für i=1 , ist rang(A)=n-k, also: dim Kern(A)=k , da jeder der k Jordanblöcke eine Nullzeile besitzt. Zu diesen kommt nun erstmal , bis der erste oder mehrer Jordanblöcke gleichzeitig zur Nullmatrix werden, k Nullzeilen/Nullspalten dazu, also wächst die Dimension erst einmal um k. Jedoch verstehe ich jetzt nicht wie ich, formal richtig, auf eine schöne Form komme :/ Ein bisschen Hilfestellung wäre sehr wilkommen LG Snexx_Math

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