Grenzwert einer Reihe

05.11.2018, 18:33

MarkusW1209

Grenzwert einer Reihe

Meine Frage:
Hallo. ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die eigentlich nicht so schwierig sein dürfte, aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Zu folgender Reihe soll der Grenzwert berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } 1 / (2k+1)^2 \end{eqnarray*}$

Benutzt werden darf, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } k² = \pi² / 6 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Folgende Schritte habe ich gemacht. Komme jetzt nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } 1 / (2k+1)^2 = 1 + \sum\limits_{k=1}^{\infty } 1 / (2k+1)^2 = 1 + \sum\limits_{k=1}^{\infty } 1 / (4k² + 4k + 1) \end{eqnarray*}$

05.11.2018, 18:37

URL

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RE: Grenzwert einer Reihe
Zerlege $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } k^2 \end{eqnarray*}$ in zwei Summen über gerade bzw. ungerade k

05.11.2018, 22:36

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von MarkusW1209
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } k² = \pi² / 6 \end{eqnarray*}$

Gemeint ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ smile

06.11.2018, 06:12

Leopold

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Um mal mit URLs Ansatz zu beginnen:

$\begin{align*} \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots = \color{red} \frac{1}{1^2} \color{black} + \color{blue} \frac{1}{2^2} \color{black} + \color{red} \frac{1}{3^2} \color{black} + \color{blue} \frac{1}{4^2} \color{black} + \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} = \color{red} \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots \right) \color{black} + \color{blue} \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots \right) \end{align*}$

Jetzt beachte, daß in der blauen Reihe alle Nenner durch $\begin{align*} 2^2 \end{align*}$ teilbar sind.

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