Beweis Injektivität der Umkehrfunktion

06.11.2018, 01:44

MathAddiction95

Beweis Injektivität der Umkehrfunktion

Meine Frage:
Hallo und guten Abend ,
ich sitze vor einem Beweis und würde gerne wissen ob ich mit meinem Ansatz auf einem richtigen Weg bin !

Die Aufgabe :

Sei f:A->B eine injektive Funktion , zeigen Sie dass f^-1 (glaube dass die Umkehrfunktion gemeint ist) injektiv ist.

PS: Sicherlich habe ich im Internet kürzere, elegantere Ansätze gefunden. Trotzdem würde ich gerne Wissen ob es mit meiner Folgerung bewiesen ist.

Danke im vorraus

Meine Ideen:
Mein Ansatz :

Beweis durch Wiederspruch :

Annahme: f^-1 ist nicht injektiv

Dann gilt für die Umkehrfunktion:
$\begin{eqnarray*} \exists f^{-1}(b_{1}),f^{-1}(b_{2}) : f^{-1}(b_{1}) = f^{-1}(b_{2}) \wedge b_{1}\neq b_{2} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt für die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion :

$\begin{eqnarray*} \exists (f^{-1})^{-1}(a) : (f^{-1})^{-1}(a)=b_{1} \wedge (f^{-1})^{-1}(a)=b_{2} \wedge b_{1}\neq b_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((f^{-1})^{-1} = f) \end{eqnarray*}$
=> f ist nicht rechtseindeutig
=> f ist keine Funktion

Wiederspruch zur Aufgabenstellung

Edit (Nick): Im Titel Stammfunktion durch Umkehrfunktion ersetzt

06.11.2018, 11:25

Elvis

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"Stammfunktion" im Titel, "Umkehrfunktion" im Beweis ? Dein Beweis ist gut für bijektive Funktionen, denn diese sind injektiv und haben eine bijektive, also auch injektive Umkehrfunktion.

Im allgemeinen klappt das nicht. Hier kommt ein Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} f:\{1\}\to\{1,2\},1\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ ist zweifellos eine injektive Funktion. Die einzige Funktion, die in die andere Richtung geht, ist $\begin{eqnarray*} g:\{1,2\}\to \{1\},1\mapsto 1,2\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ , und diese ist zweifellos nicht injektiv.
Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht bijektiv ist, existiert keine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ , und ich glaube nicht, dass eine nichtexisterende Umkehrfunktion injektiv ist.

06.11.2018, 20:02

Iorek

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Zitat:

Original von Elvis
Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht bijektiv ist, existiert keine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ , und ich glaube nicht, dass eine nichtexisterende Umkehrfunktion injektiv ist.

Weil selbst schon erlebt: es gibt Professoren und Autoren, welche für die Existenz der Umkehrfunktion lediglich eine injektive Funktion $\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ voraussetzen und die Umkehrfunktion dann als $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(f)\rightarrow A,~y\mapsto f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ definieren.

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