Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale

06.11.2018, 13:02

MasterWizz

Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale

Hey Leute

Ich bin verzweifelt auf der Suche nach einer nilpotenten symmetrischen (reellen) Matrix, die Nullen auf der Hauptdiagonale hat. Mittlerweile denke ich sogar, dass es außer der Nullmatrix nicht eine weitere solche Matrix geben kann!

Denn bei einer nilpotenten Matrix sind alle Eigenwerte = 0.

Eine symmetrische Matrix mit Nullen auf der Hauptdiagonale (und ansonsten mindestens ein Eintrag ungleich 0) ist immer indefinit.

Da aber eine nilpotente Matrix nicht indefinit ist, weil es ja keine Eigenwerte <0 und auch >0 gibt, kann es so eine nilpotente Matrix nicht geben.

Ist der Beweis richtig oder kennt ihr ein Gegenbeispiel?

06.11.2018, 13:24

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RE: Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale
Eine nilpotente symmetrische (reelle) Matrix ist die Nullmatrix. Das kann man über die Diagonalisierbarkeit der Matrix zeigen. Oder man überlegt sich, dass für eine solche Matrix A und geeignetes n auch $\begin{eqnarray*} 0=A^{2n}=(A^n)^T A^n \end{eqnarray*}$ gilt und bastelt sich damit einen Widerspruch.

Zitat:

Eine symmetrische Matrix mit Nullen auf der Hauptdiagonale (und ansonsten mindestens ein Eintrag ungleich 0) ist immer indefinit.

Wie sieht man das so schnell verwirrt

Edit: Ah, ich sehe es smile

Edit2

Zitat:

Da aber eine nilpotente Matrix nicht indefinit ist

ist falsch, wie man an $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sieht

06.11.2018, 18:18

MasterWizz

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RE: Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale
Wow du antwortest echt schnell, danke dafür! smile

Zitat:

Eine symmetrische Matrix mit Nullen auf der Hauptdiagonale (und ansonsten mindestens ein Eintrag ungleich 0) ist immer indefinit.

Diese Aussage will ich eigentlich beweisen. Mein Ansatz ist $\begin{eqnarray*} 0=\mathrm{Spur}(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_i \end{eqnarray*}$ (Summe aller Eigenwerte). Die Summe wird Null, wenn es sowohl positive, als auch negative Eigenwerte gibt. Sollte es aber eine nilpotente Matrix (Alle Eigenwerte=0) geben, die symmetrisch ist, ebenfalls auf der Hauptdiagonale ausschließlich Nullen stehen hat UND nicht die Nullmatrix ist, dann ist mein Beweis nicht korrekt.

Was sind deine Gedanken dazu?

06.11.2018, 20:22

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RE: Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale

Zitat:

Eine symmetrische Matrix mit Nullen auf der Hauptdiagonale (und ansonsten mindestens ein Eintrag ungleich 0) ist immer indefinit.

Das kann man direkt durch Berechnung von $\begin{eqnarray*} x^TAx \end{eqnarray*}$ für geeignete x zeigen.

Auf deinem Weg kann man das auch machen. Ich habe dir schon gesagt

Zitat:

Eine nilpotente symmetrische (reelle) Matrix ist die Nullmatrix.

und zwei Beweismethoden auch gleich genannt.

07.11.2018, 10:47

MasterWizz

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RE: Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale
Deine Idee gefällt mir besser! Big Laugh

Beweis: Für alle Diagonalelemente der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_{ii}=0 \end{eqnarray*}$ . Weiter gibt es noch Elemente $\begin{eqnarray*} a_{ij}=a_{ji}\neq0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann ich einmal einen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wählen mit $\begin{eqnarray*} x_i=x_j=1 \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} x_i=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_j=-1 \end{eqnarray*}$ . Die zugehörige quadratische Form $\begin{eqnarray*} x^\top\!Ax \end{eqnarray*}$ nimmt jeweils einmal ein positives und einmal ein negatives Ergebnis an.

Hab ich deine Beweisidee richtig fortgeführt? smile

07.11.2018, 15:37

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RE: Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale
Ulkig, mir gefiel deine Idee besser Big Laugh

Ich hätte es so gemacht, wie du zuletzt geschrieben hast.

07.11.2018, 19:40

MasterWizz

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RE: Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale
Haha das ist witzig. Deine Idee gefällt mir besser, weil sie direkt aus der Definition folgt smile

Wieder mal vielen Dank, URL!

07.11.2018, 22:27

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RE: Nilpotente symmetrische Matrix mit Nullen auf Hauptdiagonale
Gern geschehen smile

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