-1/2 über k Beweis

06.11.2018, 16:20	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
-1/2 über k Beweis Hallo zusammen, ich sitze mal wieder vor einer Mathe Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme Die Aufgabe lautet: Zeige für alle k $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ : k $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1/2 \\ k\end{pmatrix} = (-1)^{k} \frac{\prod\limits_{j=1}^{k} (2j-1) }{\prod\limits_{j=1}^{k} 2j } \end{eqnarray}$ Mein Anatz bisher ist, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha \\ k\end{pmatrix} = \frac{\prod\limits_{j=0}^{k-1} (\alpha -j) }{k!} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1/2 \\ k\end{pmatrix} = \frac{\prod\limits_{j=0}^{k-1} (-\frac{1}{2}-j) }{k!} \end{eqnarray}$ . Meine Idee war, die Aufgabe mit vollständiger Induktion zu beweisen... was mich allerdings irritiert ist, dass die Gleichung auch für k=1 stimmt (sofern ich mich nicht verrechnet habe), obwohl ja k $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ : k $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 2 sein soll. Meine erste Frage daher: Spielt das eine Rolle?
06.11.2018, 16:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie stimmt sogar auch für $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ , sofern man die allgemein übliche Konvention akzeptiert, dass das "leere" Produkt den Wert 1 hat. Warum Induktion? Die Sache steht doch direkt da, wenn man $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -mal den Faktor $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ aus dem Zählerprodukt zieht: $\begin{eqnarray} \binom{-\frac{1}{2}}{k} = \frac{\prod\limits_{j=0}^{k-1} \left(-\frac{1}{2}-j\right)}{k!} = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^k \prod\limits_{j=0}^{k-1} (1+2j)}{k!} = (-1)^k \frac{\prod\limits_{j=0}^{k-1} (1+2j)}{2^k \prod\limits_{j=1}^k j} = (-1)^k \frac{\prod\limits_{j=1}^k (2j-1)}{\prod\limits_{j=1}^k (2j)} \end{eqnarray}$ , Zu beachten ist, dass im letzten Schritt im Zähler eine Indexverschiebung stattfand.
06.11.2018, 19:09	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ouh stimmt du hast natürlich völlig Recht Vielen Dank für deine Hilfe!

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