Zahlentheorie - Quadratische Kongruenz

07.11.2018, 14:13	InaAldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie - Quadratische Kongruenz Hallo, es soll die Lösung folgender mathematischer Kongruenz gelöst werden: $\begin{eqnarray} x^{2} \equiv 17mod\left(2^{8} \right) \end{eqnarray}$ Könnte mir bitte einer helfen, wie ich das gelöst bekomme? Danke, Ina
07.11.2018, 14:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} 0\equiv x^2-17 \equiv x^2-529 = (x-23)(x+23)\bmod 2^8 \end{eqnarray}$ . Da die beiden Faktoren die Differenz $\begin{eqnarray} (x+23)-(x-23)=46 \end{eqnarray}$ haben, welche durch 2 aber nicht durch 4 teilbar ist, ist einer der beiden Faktoren $\begin{eqnarray} (x+23) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x-23) \end{eqnarray}$ nicht durch 4 teilbar, somit muss der andere mindestens durch 128 teilbar sein. Das ergibt folgende vier Lösungen modulo $\begin{eqnarray} 2^8 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x-23 = 0 \Rightarrow x=23 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-23 = 128 \Rightarrow x=151\equiv -105 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+23 = 0 \Rightarrow x=-23 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+23 = 128 \Rightarrow x=105 \end{eqnarray}$
07.11.2018, 14:47	InaAldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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